Relasi refleksif

Dalam matematika, relasi biner $R$ pada himpunan Templat:Math dikatakan refleksif jika relasi $R$ menghubungkan setiap anggota dari Templat:Math ke dirinya sendiri. Contoh terkait relasi refleksif adalah relasi "sama dengan" (=) pada himpunan bilangan real, sebab setiap bilangan real akan sama dengan dirinya sendiri. Relasi refleksif dikatakan mempunyai sifat refleksif atau dikatakan mempunyai refleksivitas. Refleksivitas merupakan salah satu dari tiga sifat yang mendefinisikan relasi ekuivalensi.Templat:SfnpTemplat:Sfnp

Definisi

Misalkan $R$ menyatakan relasi biner pada himpunan $X$, yang merupakan subhimpunan dari $X\times X$. Untuk sebarang $x$ dan $y$ di himpunan $X$, $xRy$ mengartikan bahwa pasangan terurut $(x,y)$ merupakan pasangan dari relasi $R$, yang diberi notasi $(x,y)\in R$. Notasi untuk "bukan $xRy$" berarti $(x,y)\notin R$. Relasi $R$ disebut refleksif jika $xRx$ untuk setiap $x\in X$. Dengan kata lain, relasi $R$ juga disebut refleksif jika ${𝐈}_X\subseteq R$, dengan ${𝐈}_X$ menyatakan relasi identitas pada himpunan $X$, yaitu ${𝐈}_X:=\{(x,x):x\in X\}$.Templat:Sfnp

Klosur relasi (relation closure) dari $R$ merupakan gabungan dari relasi dengan relasi identitas, yakni $R\cup {𝐈}_X$, yang dapat didefinisikan sebagai relasi refleksif terkecil pada himpunan $X$. Relasi $R$ dikatakan refleksif jika dan hanya jika ia sama dengan klosur refleksifnya.

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation