Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse (dinamai dari matematikawan Otto Hesse) adalah persamaan yang digunakan dalam bidang geometri analitis. Persamaan ini mendeskripsikan garis di ${ℝ}^2$ atau bidang di ruang Euklides ${ℝ}^3$ atau bidang di dimensi yang lebih tinggi. Persamaan ini biasanya digunakan untuk menghitung jarak.

Persamaan ini ditulis dengan notasi vektor sebagai berikut:

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{n}}_0-d=0.$

Titik $\cdot$ merupakan produk skalar atau produk titik. Vektor ${\overrightarrow{n}}_0$ melambangkan vektor normal satuan E atau g, yang mengarah dari titik awal ke bidangnya. Jarak $d\ge 0$ adalah jarak dari titik awal ke bidangnya.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik P yang dideskripsikan oleh vektor lokasi $\overrightarrow{r}$, yang terletak di bidang E.

Derivasi/perhitungan dari bentuk normal

Dalam bentuk normal:

$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0$

suatu bidang ditetapkan oleh vektor normal $\overrightarrow{n}$ dan juga posisi sembarang vektor $\overrightarrow{a}$ dan titik $A\in E$. Arah $\overrightarrow{n}$ dipilih untuk memenuhi pertidaksamaan berikut:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{n}\ge 0$

Dengan membagi vektor normal $\overrightarrow{n}$ dengan $|\overrightarrow{n}|$, vektor satuan normal dapat diperoleh:

${\overrightarrow{n}}_0=\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$

dan persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi:

$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\cdot {\overrightarrow{n}}_0=0.$

Berdasarkan rumus berikut

$d=\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{n}}_0\ge 0$

bentuk normal Hesse dapat diperoleh

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{n}}_0-d=0.$