Persamaan Klein-Gordon

Dalam mekanika kuantum, persamaan Klein-Gordon adalah persamaan mekanika kuantum relativistik, yang berhubungan dengan persamaan Schrodinger. Ini adalah formalitas dari persamaan relasi atau hubungan energi-momentum yang dicentuskan oleh Albert Einstein.

Persamaan matematis

Persamaan Klein-Gordon dapat ditulis dalam beberapa notasi, termasuk notasi vektor empat

dibawah adalah kedua persamaan Klein-Gordon yang sering ditemui.

Persamaan Klein-Gordon menggunakan satuan natural dengan notasi matrix ${\eta }_{\mu \nu }=\text{diag}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$

	Posisi Ruang $x=(ct,𝐱)$	Transformasi Fourier $\omega =E/\hslash ,𝐤=𝐩/\hslash$	Momentum Ruang $p=(E/c,𝐩)$
Notasi normal	$(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi (t,𝐱)=0$	$\psi (t,𝐱)=\int \frac{\mathrm{d}\omega }{2\pi \hslash }\int \frac{{\mathrm{d}}^{3}k}{(2\pi \hslash {)}^3}{e}^{\mp i(\omega t-𝐤\cdot 𝐱)}\psi (\omega ,𝐤)$	$E^2={𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4$
Notasi vektor-empat	$(◻+{\mu }^2)\psi (x)=0,\mu =mc/\hslash$	$\psi (x)=\int \frac{{\mathrm{d}}^{4}p}{(2\pi \hslash {)}^4}{e}^{-ip\cdot x/\hslash }\psi (p)$	$p^2=\pm m^2{c}^2$

Dengan, $◻=\pm {\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }$ adalah simbol operator d'Alembert dan ${\mathrm{\nabla }}^2$ adalah Operator Laplace . Dengan kecepatan cahaya $c$ and konstanta planck $\hslash$ dan dengan menggunakan kesepakatan satuan dimana $c=\hslash =1$.

Interaksi gravitasi

Dalam relativitas umum, kami memasukkan efek gravitasi dengan mengganti parsial dengan turunan kovarian, dan persamaan Klein–Gordon menjadi (dalam tanda sebagian besar plus)

$\begin{array}{cc}0& =-g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =-g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\partial }_{\nu }\psi )+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi \\ & =-g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi +g^{\mu \nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\mu \nu }{\partial }_{\sigma }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi ,\end{array}$

Atau bisa ditulis dengan,

$\frac{-1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\partial }_{\nu }\psi \right)+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0,$

Dimana Templat:Math adalah invers metrik dari tensor metrik, g adalah determinan dari tensor metrik, Templat:Math adalah turunan kovarian, dan Templat:Math adalah Simbol Christoffel

Tinjauan pustaka

• Klein-Gordon equation (English Wikipedia)

Catatan

• Halaman ini belum sempurna, dan masih menggunakan beberapa kata dari halaman wikipedia berbahasa inggris
• Beberapa koevisien dan konstanta masih belum terbuat halaman independen nya.

Lihat juga

• Persamaan Dirac
• Relativitas