Persamaan Abel

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

$f(h(x))=h(x+1)$

atau, setara,

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

dan mengontrol iterasi Templat:Mvar.

Kesetaraan

Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa Templat:Mvar adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

${\alpha }^{-1}(\alpha (f(x)))={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+1).$

Pengambilan Templat:Math, persamaan dapat ditulis sebagai

$f({\alpha }^{-1}(y))={\alpha }^{-1}(y+1).$

Untuk fungsi Templat:Math diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut Templat:Math, possibly satisfying additional requirements, such as Templat:Math.

Perubahan variabel Templat:Math, untuk parameter nyata Templat:Mvar, membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal, Templat:Math .

The further change Templat:Math into Böttcher's equation, Templat:Math.

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v),$

e.g., for $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)={\alpha }^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (Observe Templat:Math.)

Fungsi Abel Templat:Math selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Sejarah

Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum was reported. Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.

Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.

Kasus khusus

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan Templat:Math.

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2,$

dan seterusnya,

$\alpha (f_n(x))=\alpha (x)+n.$

Solusi

• solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if $u$ is solution, then $v(x)=u(x)+\mathrm{\Omega }(u(x))$, where $\mathrm{\Omega }(x+1)=\mathrm{\Omega }(x)$, is also solution.)
• solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola
• Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di $E$ jika dan hanya jika $\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f^{(n)}(x)\ne x$, dimana $f^{(n)}=f\circ f\circ ...\circ f$, n times.

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

Lihat pula

• Persamaan fungsional
  • Persamaan Schröder
  • Persamaan Böttcher
• Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
• Fungsi berulang
• Operator shift
• Superfungsi