Pengali Lagrange

Pengali Lagrange adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Metode ini dinamai dari matematikawan Prancis-Italia Joseph-Louis Lagrange.

Apabila hanya ada satu batasan dan dua pilihan variabel, pertimbangkan permasalahan optimisasi berikut:

maksimisasi Templat:Math

bergantung pada Templat:Math.

Diasumsikan bahwa Templat:Mvar dan Templat:Mvar memiliki turunan parsial pertama. Kemudian ditambahkan variabel baru (Templat:Mvar) yang disebut "pengali Lagrange", dan fungsi Lagrange didefinisikan sebagai berikut:

$ℒ(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y),$

Templat:Mvar dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika Templat:Math adalah nilai maksimum Templat:Math, maka terdapat Templat:Math sehingga Templat:Math adalah titik stasioner untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial $ℒ$ yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk permasalahan awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam permasalahan yang terbatasi.

Untuk kasus umum dengan jumlah n (variabel) yang sembarang dan jumlah M (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:

$ℒ(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_M)=f(x_1,\dots ,x_n)-\sum _{k=1}^M{\lambda }_k{g}_k(x_1,\dots ,x_n),$

sekali lagi optimum f yang terbatasi sama dengan titik stasioner $ℒ.$