Logaritma alami dari 2

Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan Templat:OEIS kira-kira

$\ln 2\approx 0.693147180559945309417232121458$.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}$

Logaritma umum secara khusus adalah Templat:OEIS2C

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195$.

Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}\approx 3.321928095$ Templat:OEIS2C

Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

Wakilan deret

Faktorial bolak-balik menaik

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots$. Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
• $\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}$.
• $\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}$.
• $\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$.
• $\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.
• $\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}$.

Faktorial konstanta menaik biner

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}$.
• $\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)}$.
• $\ln 2=\frac{1}{2}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}$.
• $\ln 2=\frac{5}{6}-6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}$
• $\ln 2=\frac{7}{12}+24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$.
• $\ln 2=\frac{47}{60}-120\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}$.

Wakilan deret lainnya

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-2n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+2}=-\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$.
• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(3n+1)(3n+2)}=\frac{2\ln 2}{3}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sum _{k=1}^n{k}^2}=18-24\ln 2$ menggunakan $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=N}^{2N}\frac{1}{n}=\ln 2$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4k^2-3k}=\ln 2+\frac{\pi }{6}$ (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

Melibatkan fungsi zeta Riemann

• $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}$.
• $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta (2n)=1-\ln 2$.

($\gamma$ adalah konstanta Euler−Mascheroni dan $\zeta$ adalah fungsi zeta Riemann.)

Wakilan tipe-BBP

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}$

(Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).)

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$.
• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{9^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}$ memberikan:

• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^{n}n}$.
• $\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{2}{5}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^k(2k+1)}+\frac{2}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{49^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2={\left(\sqrt{2}\right)}^2$ memberikan:

• $\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(\sqrt{2}+1{)}^{n}n}$.
• $\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2+\sqrt{2}{)}^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{4}{3+2\sqrt{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(17+12\sqrt{2}{)}^k(2k+1)}$.

Menerapkannya untuk $2={\left(\frac{16}{15}\right)}^7\cdot {\left(\frac{81}{80}\right)}^3\cdot {\left(\frac{25}{24}\right)}^5$ memberikan:

• $\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{15^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{80^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{24^{n}n}$.
• $\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{81^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^{n}n}$.
• $\ln 2=\frac{14}{31}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{961^k(2k+1)}+\frac{6}{161}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25921^k(2k+1)}+\frac{10}{49}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2401^k(2k+1)}$.

Wakilan sebagai integral

Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln 2$.

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$.

• $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\ln 2$.

Wakilan lainnya

Pengembangan Piercenya adalah Templat:OEIS2C

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots$

Pengembangan Engelnya adalah Templat:OEIS2C

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots$

Pengembangan kotangennya adalah Templat:OEIS2C

$\ln 2=\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(5)-\mathrm{arccot}(55)+\mathrm{arccot}(14187)-\cdots )$

Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah Templat:OEIS2C

$\ln 2=[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...]$

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah $0$, $1$, $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{9}{13}$, dan $\frac{61}{88}$.

Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:

$\ln 2=[0;1,2,3,1,5,\frac{2}{3},7,\frac{1}{2},9,\frac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...]$, dapat diekspresikan sebagai

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}$

Bootstrap logaritma lainnya

Diberikan sebuah nilai dari $\ln 2$, sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit $c$ berdasarkan faktorisasinya

$c=2^i{3}^j{5}^k{7}^l\cdots \to \ln (c)=i\ln (2)+j\ln (3)+k\ln (5)+l\ln (7)+\cdots$

Ini memakai

Bilangan prima	Memperkirakan logaritma natural	OEIS
2	$0.693147180559945309417232121458$	Templat:OEIS link
3	$1.09861228866810969139524523692$	Templat:OEIS link
5	$1.60943791243410037460075933323$	Templat:OEIS link
7	$1.94591014905531330510535274344$	Templat:OEIS link
11	$2.39789527279837054406194357797$	Templat:OEIS link
13	$2.56494935746153673605348744157$	Templat:OEIS link
17	$2.83321334405621608024953461787$	Templat:OEIS link
19	$2.94443897916644046000902743189$	Templat:OEIS link
23	$3.13549421592914969080675283181$	Templat:OEIS link
29	$3.36729582998647402718327203236$	Templat:OEIS link
31	$3.43398720448514624592916432454$	Templat:OEIS link
37	$3.61091791264422444436809567103$	Templat:OEIS link
41	$3.71357206670430780386676337304$	Templat:OEIS link
43	$3.76120011569356242347284251335$	Templat:OEIS link
47	$3.85014760171005858682095066977$	Templat:OEIS link
53	$3.97029191355212183414446913903$	Templat:OEIS link
59	$4.07753744390571945061605037372$	Templat:OEIS link
61	$4.11087386417331124875138910343$	Templat:OEIS link
67	$4.20469261939096605967007199636$	Templat:OEIS link
71	$4.26267987704131542132945453251$	Templat:OEIS link
73	$4.29045944114839112909210885744$	Templat:OEIS link
79	$4.36944785246702149417294554148$	Templat:OEIS link
83	$4.41884060779659792347547222329$	Templat:OEIS link
89	$4.48863636973213983831781554067$	Templat:OEIS link
97	$4.57471097850338282211672162170$	Templat:OEIS link

DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional $r=\frac{a}{b}$ dihitung dengan menggunakan $\ln (r)=\ln (a)-\ln (b)$, dan logaritma akar melalui $\ln \sqrt[n]{c}=\frac{1}{n}\ln c$.

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari $2^i$ yang mendekati dengan pangkat $b^j$ dari bilangan $b$ lainnya relatif mudah, dan representasi deret $\ln b$ dengan menggabungkan $2$ ke $b$ dengan perubahan logaritmik.

Contoh

Jika $p^s=q^t+d$ dengan beberapa $d$, maka $\frac{p^s}{q^t}=1+\frac{d}{q^t}$ dan karena itu

$s\ln (p)-t\ln (q)=\ln (1+\frac{d}{q^t})=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+1}\frac{(\frac{d}{q^t}{)}^m}{m}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{d}{2q^t+d}\right)}^{2n+1}$

Memilih $q=2$ mewakili $\ln (p)$ oleh $\ln 2$ dan sebuah deret dari sebuah parameter $\frac{d}{q^t}$ yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil $3^2=2^3+1$, sebagai contoh, menghasilkan

$2\ln (3)=3\ln 2-\sum _{k\ge 1}\frac{(-1{)}^k}{8^{k}k}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{1}{2\cdot 8+1}\right)}^{2n+1}$:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:

$s$	$p$	$t$	$q$	$\frac{d}{q^t}$
1	3	1	2	$\frac{1}{2}=0.50000000\dots$
1	3	2	2	$-\frac{1}{4}=-0.25000000\dots$
2	3	3	2	$\frac{1}{8}=0.12500000\dots$
5	3	8	2	$-\frac{13}{256}=-0.05078125\dots$
12	3	19	2	$\frac{7153}{524288}=0.01364326\dots$
1	5	2	2	$\frac{1}{4}=0.25000000\dots$
3	5	7	2	$-\frac{3}{128}=-0.02343750\dots$
1	7	2	2	$\frac{3}{4}=0.75000000\dots$
1	7	3	2	$-\frac{1}{8}=-0.12500000\dots$
5	7	14	2	$\frac{423}{16384}=0.02581787\dots$
1	1	3	2	$\frac{3}{8}=0.37500000\dots$
2	11	7	2	$-\frac{7}{128}=-0.05468750\dots$
11	11	38	2	$\frac{10433763667}{274877906944}=0.03795781\dots$
1	13	3	2	$\frac{5}{8}=0.62500000\dots$
1	13	4	2	$-\frac{3}{16}=-0.18750000\dots$
3	13	11	2	$\frac{149}{2048}=0.07275391\dots$
7	13	26	2	$-\frac{4360347}{67108864}=-0.06497423\dots$
10	13	37	2	$\frac{419538377}{137438953472}=0.00305254\dots$
1	17	4	2	$\frac{1}{16}=0.06250000\dots$
1	19	4	2	$\frac{3}{16}=0.18750000\dots$
4	19	17	2	$-\frac{751}{131072}=-0.00572968\dots$
1	23	4	2	$\frac{7}{16}=0.43750000\dots$
1	23	5	2	$-\frac{9}{32}=-0.28125000\dots$
2	23	9	2	$\frac{17}{512}=0.03320312\dots$
1	29	4	2	$\frac{13}{16}=0.81250000\dots$
1	29	5	2	$-\frac{3}{32}=-0.09375000\dots$
7	29	34	2	$\frac{70007125}{17179869184}=0.00407495\dots$
1	31	5	2	$-\frac{1}{32}=-0.03125000\dots$
1	37	5	2	$\frac{5}{32}=0.15625000\dots$
4	37	21	2	$-\frac{222991}{2097152}=-0.10633039\dots$
5	37	26	2	$\frac{2235093}{67108864}=0.03330548\dots$
1	41	5	2	$\frac{9}{32}=0.28125000\dots$
2	41	11	2	$-\frac{367}{2048}=-0.17919922\dots$
3	41	16	2	$\frac{3385}{65536}=0.05165100\dots$
1	43	5	2	$\frac{11}{32}=0.34375000\dots$
2	43	11	2	$-\frac{199}{2048}=-0.09716797\dots$
5	43	27	2	$\frac{12790715}{134217728}=0.09529825\dots$
7	43	38	2	$\frac{3059295837}{274877906944}=0.01112965\dots$

Dimulai dari logaritma natural dari $q=10$, salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

$s$	$p$	$t$	$q$	$\frac{d}{q^t}$
10	2	3	10	$\frac{3}{125}=0.02400000\dots$
21	3	10	10	$\frac{460353203}{10000000000}=0.04603532\dots$
3	5	2	10	$\frac{1}{4}=0.250000\dots$
10	5	7	10	$-\frac{3}{128}=-0.02343750\dots$
6	7	5	10	$\frac{17649}{100000}=0.17649000\dots$
13	7	11	10	$-\frac{3110989593}{100000000000}=-0.03110990\dots$
1	11	1	10	$\frac{1}{10}=0.10000000\dots$
1	13	1	10	$\frac{3}{10}=0.30000000\dots$
8	13	9	10	$-\frac{184269279}{1000000000}=-0.18426928\dots$
9	13	10	10	$\frac{604499373}{10000000000}=0.06044994\dots$
1	17	1	10	$\frac{7}{10}=0.70000000\dots$
4	17	5	10	$-\frac{16479}{100000}=-0.16479000\dots$
9	17	11	10	$\frac{18587876497}{100000000000}=0.18587876\dots$
3	19	4	10	$-\frac{3141}{10000}=-0.31410000\dots$
4	19	5	10	$\frac{30321}{100000}=0.30321000\dots$
7	19	9	10	$-\frac{106128261}{1000000000}=-0.10612826\dots$
2	23	3	10	$-\frac{471}{1000}=-0.47100000\dots$
3	23	4	10	$\frac{2167}{10000}=0.21670000\dots$
2	29	3	10	$-\frac{159}{1000}=-0.15900000\dots$
2	31	3	10	$\frac{39}{1000}=-0.03900000\dots$

Digit yang diketahui

Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit $\ln 2$. Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

Tanggal	Nama	Jumlah digit
7 Januari 2009	A Yee & R Chan	15,500,000,000
4 Februari 2009	A Yee & R Chan	31,026,000,000
21 Februari 2011	Alexander Yee	50,000,000,050
14 Maret, 2011	Shigeru Kondo	100,000,000,000
28 Februari 2014	Shigeru Kondo	200,000,000,050
12 Juli 2015	Ron Watkins	250,000,000,000
30 Januari 2016	Ron Watkins	350,000,000,000
18 April 2016	Ron Watkins	500,000,000,000
10 Desember 2018	Michael Kwok	600,000,000,000
26 April 2019	Jacob Riffee	1,000,000,000,000
19 Agustus 2020	Seungmin Kim	1,2000,000,000,100

Lihat pula

• Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana $\ln 2$ sangat menonjol
• Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana $\ln 2$ sangat menonjol
• Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari $\ln 2$.

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Templat:Planetmath reference
• Templat:Cite web