Kaidah Simpson

Kaidah Simpson dapat diturunkan dengan menghampiri integran $f(x)$ (biru) dengan interpolasi kuadratik $P(x)$ (merah).

Animasi yang menunjukkan bagaimana kaidah Simpson menghampiri fungsi dengan parabola, dan bagaimana proses penurunan galat dapat diraih dengan mengecilkan panjang langkah

Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur.Templat:Citation needed Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.

Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam arsitektur perkapalan untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.

Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b))$

Jika didefinisikan variabel $h=\frac{b-a}{2}$ yang disebut panjang langkahTemplat:Citation needed, maka kaidah Simpson 1/3 dapat dinyatakan sebagai

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(f(a)+4f(a+h)+f(a+2h))$

Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi $f$ merupakan polinomial yang berderajat 3 atau kurang.

Penurunan Rumus

Interpolasi Kuadratik

Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik $\{(a,f(a)),(\frac{a+b}{2},f\left(\frac{a+b}{2}\right)),(b,f(b))\}$. Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange, maka diperoleh

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(a)\frac{(x-\frac{a+b}{2})(x-b)}{(a-\frac{a+b}{2})(a-b)}+f(a-\frac{a+b}{2})\frac{(x-a)(x-b)}{(\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-\frac{a+b}{2})}{(b-a)(b-\frac{a+b}{2})})\text{d}x$

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{(x-\frac{a+b}{2})(x-b)}{(a-\frac{a+b}{2})(a-b)}\text{d}x=\frac{b-a}{6}$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{(x-a)(x-b)}{(\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b)}\text{d}x=\frac{2}{3}(b-a)$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{(x-a)(x-\frac{a+b}{2})}{(b-a)(b-\frac{a+b}{2})}\text{d}x=\frac{b-a}{6}$

Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel $h=\frac{b-a}{2}$, maka didapatkan

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x\approx \frac{h}{3}(f(a)+4f(a+h)+f(a+2h))$

Keberadaan faktor $\frac{1}{3}$ pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 1/3

Koefisien tak tentu

Dengan menebak bahwa

$\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx C_{1}f(a)+C_{2}f\left(\frac{a+b}{2}\right)+C_{3}f(b)$

maka nilai koefisien $C_1,C_2,C_3$ di atas dapat diperoleh dengan mensyaratkan nilai hampiran di ruas kanan menjadi nilai eksak apabila fungsi $f(x)$ merupakan fungsi kuadrat. Oleh karena nilai $b-a\ne 0$, maka sistem persamaan yang dihasilkan memiliki penyelesaian yang tunggal, yaitu

$\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\\ C_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1/6\\ 2/3\\ 1/6\end{array}\right]$

Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.

Galat

Animasi yang menunjukkan bagaimana hampiran kaidah Simpson akan semakin akurat apabila jumlah partisinya diperbanyak.

Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah

$-\frac{1}{90}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^5{f}^{(4)}(\xi )$

dengan $a<\xi <b$.

Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan $(b-a{)}^5$. Akan tetapi, penurunan rumus kaidah Simpson menunjukkan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebenarnya sebanding terhadap $(b-a{)}^4$. Orde tambahan ini diperoleh karena kaidah Simpson menggunakan titik-titik berjarak sama pada domain integrasi $[a,b]$.

Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi $f$ pada titik $x=\xi$, maka kaidah Simpson 1/3 akan memberikan hasil eksak apabila fungsi $f$ merupakan polinomial berderajat tiga atau kurang, sebab turunan keempat dari fungsi $f$ adalah nol pada setiap titik.

Kaidah Simpson 1/3 Komposit

Jika domain integrasi $[a,b]$ cukup "kecil" (dalam artian, fungsi yang akan diintegralkan relatif mulus pada interval $[a,b]$), maka kaidah Simpson dengan $n=2$ subinterval akan memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai eksak integralnya. Untuk fungsi yang seperti itu, interpolasi kuadratik seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.

Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval $[a,b]$ menjadi $2n$ subinterval yang sama panjangnya, lalu terapkan kaidah Simpson pada setiap subinterval. Nilai hampiran integralnya diperoleh dengan menjumlahkan hasil hampiran kaidah Simpson pada setiap subinterval. Pendekatan ini disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 komposit, atau kaidah Simpson komposit saja.Templat:Citation needed

Misalkan interval $[a,b]$ dipartisi menjadi $2n$ subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel $h$ menyatakan panjang dari partisi $[a,b]$, maka didapatkan $h=\frac{b-a}{2n}$. Andaikan titik partisinya ialah $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_{2n}\}$, maka diperoleh persamaan $x_i-x_{i-1}=h$. Sehingga, $$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =\underset{x_0}{\overset{x_2}{\int }}f(x)dx+\underset{x_2}{\overset{x_4}{\int }}f(x)dx+\dots +\underset{x_{2n-2}}{\overset{x_{2n}}{\int }}f(x)dx\\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& \approx \frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))+\frac{h}{3}(f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4))+\dots +\frac{h}{3}(f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}))\\ & \approx \frac{h}{3}\sum _{i=1}^n(f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}))\\ & \dots \\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& \approx \frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))+\frac{h}{3}(f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4))+\dots +\frac{h}{3}(f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}))\\ & \approx \frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)+f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)+\dots +f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}))\\ & \approx \frac{h}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\dots +2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}))\\ & \approx \frac{h}{3}(f(x_0)+4\sum _{i=1}^{n}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n}))\end{array}$$

Jika dipilih $n=1$, maka kaidah Simpson komposit akan menjadi kaidah Simpson 1/3 biasa.

Dalam penerapan nya, seringkali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke Metode Simpson adaptif.

Contoh implementasi menggunakan Python

import math
import numpy as np

def f(x) :
  return math.cos(x)    #mencari integral fungsi y = cos(x)

def aturan_simpson(a, b, n):
    if n % 2 != 0 :
        print("nilai n haruslah genap")
    else :
        h = (b - a) / n
        x = np.linspace(a, b, n+1)
        y = []
        for i in range(0, n+1) :
            y.append(f(a + i*h))
        return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1])

Galat

Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah

$-\frac{1}{180}{h}^4(b-a)f^{(4)}(\xi )$

dimana $a<\xi <b$ dan $h=\frac{b-a}{2n}$ adalah "panjang langkah".Templat:SfnTemplat:Sfn Ukuran galatnya diperoleh dari

$\frac{1}{180}{h}^4(b-a)\cdot \underset{\xi \in [a,b]}{\sup }|f^{(4)}(\xi )|$

Kaidah Simpson 3/8

Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik $\{(a,f(a)),(\frac{2a+b}{3},f\left(\frac{a+2b}{3}\right)),(b,f(b))\}$. Secara matematis, kaidah Simpson 3/8 dapat dinyatakan sebagai berikut: $$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& \approx \frac{b-a}{8}(f(a)+3f\left(\frac{2a+b}{3}\right)+3f\left(\frac{a+2b}{3}\right)+f(b))\\ & =\frac{3}{8}h(f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(a+3h))\end{array}$$ dengan $h=(b-a)/3$ sebagai panjang langkah. Keberadaan faktor $\frac{3}{8}$ pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 3/8

Galat

Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah $$-\frac{3}{80}{h}^5{f}^{(4)}(\xi )=-\frac{(b-a{)}^5}{6480}{f}^{(4)}(\xi )$$ dimana $a<\xi <b$. Sehingga, kaidah Simpson 3/8 dua kali lebih akurat daripada kaidah Simpson 1/3, namun metode ini memerlukan perhitungan nilai fungsi pada titik yang lebih banyak.

Kaidah Simpson 3/8 Komposit

Apabila interval $[a,b]$ dipartisi menjadi $3n$ subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel $h$ menyatakan panjang dari partisi $[a,b]$, maka didapatkan $h=\frac{b-a}{3n}$. Andaikan titik partisinya ialah $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_{3n}\}$, maka diperoleh persamaan $x_i-x_{i-1}=h$. Sehingga, $$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =\underset{x_0}{\overset{x_3}{\int }}f(x)dx+\underset{x_3}{\overset{x_6}{\int }}f(x)dx+\dots +\underset{x_{3n-3}}{\overset{x_{3n}}{\int }}f(x)dx\\ & \approx \frac{3}{8}h(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))+\frac{3}{8}h(f(x_3)+3f(x_4)+3f(x_5)+f(x_6))+\dots +\frac{3}{8}h(f(x_{3n-3})+3f(x_{3n-2})+3f(x_{3n-1})+f(x_{3n}))\\ & \approx \frac{3}{8}h\sum _{i=1}^n(f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}))\\ & \dots \\ \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& \approx \frac{3}{8}h(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3))+\frac{3}{8}h(f(x_3)+3f(x_4)+3f(x_5)+f(x_6))+\dots +\frac{3}{8}h(f(x_{3n-3})+3f(x_{3n-2})+3f(x_{3n-1})+f(x_{3n}))\\ & \approx \frac{3}{8}h(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)+f(x_3)+3f(x_4)+3f(x_5)+f(x_6)+\dots +f(x_{3n-3})+3f(x_{3n-2})+3f(x_{3n-1})+f(x_{3n}))\\ & \approx \frac{3}{8}h(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+2f(x_3)+3f(x_4)+3f(x_5)+2f(x_6)+\dots +2f(x_{3n-3})+3f(x_{3n-2})+3f(x_{3n-1})+f(x_{3n}))\\ & \approx \frac{3}{8}h(f(x_0)+3\sum _{k=1,3\nmid k}^{n}f(x_k)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{3i})+f(x_{3n}))\end{array}$$

Jika dipilih $n=1$, maka kaidah Simpson 3/8 komposit akan menjadi kaidah Simpson 3/8 biasa.

Lihat juga

• Rumus Newton–Cotes
• Kuadratur Gauss

Referensi

• Templat:En Templat:Cite book
• Templat:En Templat:Cite book
• Templat:En Templat:Cite journal
• Templat:En Templat:Cite journal
• Templat:En Templat:Cite web
• Templat:En Templat:Cite web.
• Templat:En Templat:Cite journal
• Templat:En Templat:Cite book
• Templat:MathWorld

Pranala luar

• Templat:EnKaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik
• Templat:EnPenerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation
• Templat:EnTemplat:Springer
• Templat:EnTemplat:Mathworld
• Templat:EnKaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan pada Holistic Numerical Methods (Metode Numerik Holistik)
• Templat:EnPenjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C Templat:Webarchive
• Templat:EnProgram dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson Templat:Webarchive