Jumlah taktentu

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai $\sum _x$ atau ${\mathrm{\Delta }}^{-1}$, adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) $\mathrm{\Delta }$. Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

$\mathrm{\Delta }\sum _{x}f(x)=f(x)$.

Lebih eksplisit lagi, jika $\sum _{x}f(x)=F(x)$, kemudian

$F(x+1)-F(x)=f(x)$

Jika $F(x)$ adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi $f(x)$, maka $F(x)+C(x)$ untuk setiap fungsi periodik $C(x)$ dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif $C$. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

${\mathrm{\Delta }}^{-1}=\frac{1}{e^D-1}$

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit

Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː

$\sum _{k=a}^{b}f(k)={\mathrm{\Delta }}^{-1}f(b+1)-{\mathrm{\Delta }}^{-1}f(a)$

Definisi

Rumus Penjumlahan Laplace

$\sum _{x}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k{\mathrm{\Delta }}^{k-1}f(x)}{k!}+C$

dimana $c_k=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-k+1)}dx$ adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua. Templat:Butuh rujukan

Rumus Newton

$\sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}){\mathrm{\Delta }}^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{\Delta }}^{k-1}[f](0)}{k!}(x{)}_k+C$

dimana $(x{)}_k=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-k+1)}$ adalah faktorial menurun.

Rumus Faulhaber

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n-1)}(0)}{n!}{B}_n(x)+C,$

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

Rumus Mueller

Jika $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0,$ maka

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(f(n)-f(n+x))+C.$

Rumus Euler–Maclaurin

$\sum _{x}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt-\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)+C$

Pilihan dengan suku konstanta

Seringkali, konstanta $C$ pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

$F(x)=\sum _{x}f(x)+C$

Maka, konstanta $C$ diperbaiki dengan kondisi

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}F(x)dx=0$

atau

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}F(x)dx=0$

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

$\sum _{x\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(x)=-f(0)-F(0)$

atau dengan 1

$\sum _{x\ge 1}^{\mathrm{\Re }}f(x)=-F(1)$.

Penjumlahan menurut bagian

Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

$\sum _{x}f(x)\mathrm{\Delta }g(x)=f(x)g(x)-\sum _x(g(x)+\mathrm{\Delta }g(x))\mathrm{\Delta }f(x)$

$\sum _{x}f(x)\mathrm{\Delta }g(x)+\sum _{x}g(x)\mathrm{\Delta }f(x)=f(x)g(x)-\sum _x\mathrm{\Delta }f(x)\mathrm{\Delta }g(x)$

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

$\sum _{i=a}^{b}f(i)\mathrm{\Delta }g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\mathrm{\Delta }f(i)$

Kaidah periode

Jika $T$ adalah periode fungsi $f(x)$, maka

$\sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C$

Jika $T$ adalah fungsi antiperiode $f(x)$, yaitu $f(x+T)=-f(x)$, maka

$\sum _{x}f(Tx)=-\frac{1}{2}f(Tx)+C$

Penggunaan alternatif

Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

$\sum _{k=1}^{n}f(k).$

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup $F(k)$ untuk penjumlahan adalah solusi untuk

$F(x+1)-F(x)=f(x+1)$

disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur $\mathrm{\nabla }$. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu

Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

Antiselisih pada Fungsi rasional

$\sum _{x}a=ax+C$

$\sum _{x}x=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+C$

$\sum _x{x}^a=\frac{B_{a+1}(x)}{a+1}+C,a\notin {\mathbb{Z}}^{-}$

dimana $B_a(x)=-a\zeta (-a+1,x)$, yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.

$\sum _x{x}^a=\frac{(-1{)}^{a-1}{\psi }^{(-a-1)}(x)}{\mathrm{\Gamma }(-a)}+C,a\in {\mathbb{Z}}^{-}$

dimana ${\psi }^{(n)}(x)$ adalah fungsi poligamma .

$\sum _x\frac{1}{x}=\psi (x)+C$

dimana $\psi (x)$ adalah fungsi digamma.

$\sum _x{B}_a(x)=(x-1)B_a(x)-\frac{a}{a+1}{B}_{a+1}(x)+C$

Antiselisih pada Fungsi eksponensial

$\sum _x{a}^x=\frac{a^x}{a-1}+C$

Terutama,

$\sum _x{2}^x=2^x+C$

Antiselisih pada fungsi logaritma

$\sum _x{\log }_{b}x={\log }_b\mathrm{\Gamma }(x)+C$

$\sum _x{\log }_{b}ax={\log }_b(a^{x-1}\mathrm{\Gamma }(x))+C$

Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

$\sum _x\sinh ax=\frac{1}{2}\mathrm{csch}\left(\frac{a}{2}\right)\cosh (\frac{a}{2}-ax)+C$

$\sum _x\cosh ax=\frac{1}{2}\mathrm{csch}\left(\frac{a}{2}\right)\sinh (ax-\frac{a}{2})+C$

$\sum _x\tanh ax=\frac{1}{a}{\psi }_{e^a}(x-\frac{i\pi }{2a})+\frac{1}{a}{\psi }_{e^a}(x+\frac{i\pi }{2a})-x+C$

dimana ${\psi }_q(x)$ adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi trigonometri

$\sum _x\sin ax=-\frac{1}{2}\csc \left(\frac{a}{2}\right)\cos (\frac{a}{2}-ax)+C,a\ne 2n\pi$

$\sum _x\cos ax=\frac{1}{2}\csc \left(\frac{a}{2}\right)\sin (ax-\frac{a}{2})+C,a\ne 2n\pi$

$\sum _x{\sin }^{2}ax=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\csc (a)\sin (a-2ax)+C,a\ne n\pi$

$\sum _x{\cos }^{2}ax=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\csc (a)\sin (a-2ax)+C,a\ne n\pi$

$\sum _x\tan ax=ix-\frac{1}{a}{\psi }_{e^{2ia}}(x-\frac{\pi }{2a})+C,a\ne \frac{n\pi }{2}$

dimana ${\psi }_q(x)$ adalah fungsi q-digamma .

$\sum _x\tan x=ix-{\psi }_{e^{2i}}(x+\frac{\pi }{2})+C=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+1-z)+\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+z)-\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}+1)-\psi (k\pi -\frac{\pi }{2}))+C$

$\sum _x\cot ax=-ix-\frac{i{\psi }_{e^{2ia}}(x)}{a}+C,a\ne \frac{n\pi }{2}$

Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

$\sum _x\mathrm{artanh}ax=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(x+\frac{1}{a})}{\mathrm{\Gamma }(x-\frac{1}{a})}\right)+C$

Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

$\sum _x\arctan ax=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(x+\frac{i}{a})}{\mathrm{\Gamma }(x-\frac{i}{a})}\right)+C$

Antiselisih pada fungsi khusus

$\sum _x\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C$

$\sum _x\mathrm{\Gamma }(x)=(-1{)}^{x+1}\mathrm{\Gamma }(x)\frac{\mathrm{\Gamma }(1-x,-1)}{e}+C$

dimana $\mathrm{\Gamma }(s,x)$ adalah fungsi gamma tidak kompleks.

$\sum _x(x{)}_a=\frac{(x{)}_{a+1}}{a+1}+C$

dimana $(x{)}_a$ adalah faktorial menurun .

$\sum _x{\mathrm{sexp}}_a(x)={\ln }_a\frac{({\mathrm{sexp}}_a(x){)}^{\prime }}{(\ln a{)}^x}+C$

(lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula

• Produk tak tentu
• Kalkulus skala waktu
• Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

Bacaan lebih lanjut

• "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, Templat:ISBN
• Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler
• SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2.
• "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968