Integral pada Trigonometri

Sinus(x) (biru) dan Kosinus(x) (hijau) diplot pada plot yang sama.

Dalam matematika, Integral pada trigonometri adalah kelopak integral yang melibatkan pada fungsi trigonometri.

Integral Sinus

Plot pada Sin(x) untuk nilai Templat:Math.

Definisi integral sinus dengan nilai berbeda adalah adalah:

$\mathrm{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{si}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt.$

Perhatikan jika not integral Templat:Frac adalah niali fungsi sinus, dan apabila nilai nol adalah hasil bilangan bulat pada fungsi Bessel.

Definisi, Templat:Math adalah antiturunan dari nilai Templat:Math yang terdapat nilai nol pada Templat:Math, dan Templat:Math adalah antiturunan yang hasil nilai nol pada Templat:Math. Perbedaan mereka diberikan oleh Integral Dirichlet,

$\mathrm{Si}(x)-\mathrm{si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}\text{ or }\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{si}(x).$

Dalam pemrosesan sinyal, osilasi integral sinus menyebabkan overshoot dan artefak dering saat menggunakan filter sinus, dan dering domain frekuensi jika menggunakan filter sinus terpotong sebagai filter low-pass.

Integral Kosinus

Plot pada fungsi Templat:Math untuk nilai pertidaksamaan Templat:Nowrap

Definisi dari integral kosinus yang berbeda adalah

$\mathrm{Cin}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t,$

$\mathrm{Ci}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}\mathrm{d}t=\gamma +\ln x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}\mathrm{d}t\text{ for }|\mathrm{Arg}(x)|<\pi ,$

Darimana nilai Templat:Mvar ≈ 0.5772 1566 ... adalah hasil nilai Konstanta Euler–Mascheroni. Beberapa kosakata banyak yang menggunakan Templat:Math bukannya kosakata Templat:Math.

Templat:Math adalah hasil nilai pada antiturunan dari Templat:Math (yang menghilang sebagai nilai $x\to \mathrm{\infty }$). Kedua definisi tersebut terkait dengan:

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Cin}(x).$

Integral Sinus pada Hiperbolik

Sinus hiperbolik terpisahkan dapat didefinisikan sebagai:

$\mathrm{Shi}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh (t)}{t}dt.$

Hasil tersebut terkait dengan integral sinus biasa oleh

$\mathrm{Si}(ix)=i\mathrm{Shi}(x).$

Integral Kosinus Pada Hipebolik

Rumus pada hiperbolik kosinus dengan nilai terpisahkan adalah

$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}\mathrm{d}t\text{ for }|\mathrm{Arg}(x)|<\pi ,$

Darimana $\gamma$ adalah Konstanta Euler–Mascheroni.

Rumus ini memiliki konstansa:

$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln (x)+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{4320}+\frac{x^8}{322560}+\frac{x^{10}}{36288000}+O(x^{12}).$

Integral pembantu

$f(x)\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t)}{t+x}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^2+1}dt=\mathrm{Ci}(x)\sin (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\cos (x)$

$g(x)\equiv \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t)}{t+x}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t{e}^{-xt}}{t^2+1}dt=-\mathrm{Ci}(x)\cos (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\sin (x)$.

__________________________________ (cf Abramowitz & Stegun, p. 232)

$\begin{array}{ccc}\mathrm{Si}(x)& =& \frac{\pi }{2}-f(x)\cos (x)-g(x)\sin (x)\\ \mathrm{Ci}(x)& =& f(x)\sin (x)-g(x)\cos (x).\end{array}$

Lihat pula

• Integral pada Logaritma

Pranala luar

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• Templat:Springer
• Templat:Springer