Integral lipat

Integral sebagai luasan antara dua kurva.

Integral lipat dua sebagai volume terhadap permukaan Templat:Math. Pada bagian bawah benda (di grafik tersebut), daerah berbentuk persegi panjang merupakan domain pengintegralan, sedangkan permukaannya merupakan integral dari grafik dari fungsi dua variabel.

Dalam matematika (khususnya dalam cabang kalkulus multivariabel), integral lipat merupakan integral tentu dari fungsi variabel real banyak, contohnya seperti Templat:Math atau Templat:Math. Integral dari fungsi dua variabel pada daerah di bidang bilangan real (${ℝ}^2$) disebut integral lipat dua, dan integral dari fungsi tiga variabel pada daerah di ruang tiga dimensi bilangan real (${ℝ}^3$) disebut integral lipat tiga.

Pengenalan

Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili luas daerah antara grafik fungsi dan sumbu-Templat:Mvar. Mirip dengan sebelumnya, integral lipat dua dari fungsi positif dua variabel mewakili volume daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di bidang Kartesius berdimensi tiga, dengan Templat:Math) dan bidang yang memuat domain fungsinya. Integral lipat akan memberikan hipervolume dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.

Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel Templat:Mvar: Templat:Math pada domain Templat:Mvar biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:

$\int \cdots \underset{𝐃}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

Karena konsep antiturunan hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel real, definisi integral taktentu biasanya tidak langsung memperluas ke integral lipat.

Definisi secara matematis

Untuk Templat:Math, misalkan Templat:Mvar adalah domain hyperrectangle berdimensi Templat:Mvar, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai

$T=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_n,b_n)\subseteq {ℝ}^n.$

Partisi masing-masing interval Templat:Math dengan keluarga hingga Templat:Mvar dari subinterval tak-bertindih Templat:Mvar, dengan masing-masing subinterval tertutup di sebelah kiri dan terbuka di sebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari subrectangle Templat:Mvar yang dinyatakan sebagai

$C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

merupakan partitisi dari Templat:Mvar. Dalam artian, subrectangle Templat:Mvar tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah Templat:Mvar. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan Templat:Math adalah fungsi yang didefinisikan oleh Templat:Mvar. Misalkan pula partisi Templat:Mvar dari Templat:Mvar seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga Templat:Mvar adalah keluarga dari subrectangle Templat:Mvar, dinyatakan sebagai Templat:Mvar. Secara matematis, ditulis sebagai

$T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

Kita dapat menghitung hampiran dari total volume berdimensi Templat:Math dengan batas bawahnya adalah hyperrectangle Templat:Mvar berdimensi Templat:Mvar dan batas atasnya adalah grafik Templat:Mvar berdimensi Templat:Mvar. Hal ini dapat ditunjukkan melalui jumlah Riemann:

$\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

dengan Templat:Mvar adalah titik di Templat:Mvar dan Templat:Math merupakan hasilkali dari panjang interval yang hasilkali Kartesius adalah Templat:Mvar, juga dikenal sebagai ukuran dari Templat:Mvar.

Diameter suatu subrectangle Templat:Mvar merupakan panjang interval paling terbesar, dengan hasilkali Cartesiusnya adalah Templat:Mvar. Diameter dari partisi Templat:Mvar yang diberikan dinyatakan sebagai diameter terpanjang dari subrectangle dalam partisi. Secara intuitif, ketika diameter dari partisi Templat:Mvar dibatasi lebih kecil dan lebih kecil lagi, jumlah subrectangle Templat:Mvar semakin besar, dan ukuran Templat:Math dari masing-masing subrectangle semakin kecil. Fungsi Templat:Mvar dikatakan terintegralkan Riemann jika limit

$S=\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{m}f(P_k)\mathrm{m}(C_k)$

ada, dengan limitnya mengambil semua partisi Templat:Mvar yang mungkin dari diameter setidaknya Templat:Mvar.

Jika Templat:Mvar adalah terintegralkan Riemann, maka Templat:Mvar disebut integral Riemann dari Templat:Mvar pada Templat:Mvar dan dinyatakan sebagai

$\int \cdots \underset{T}{\int }f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_n$

atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai

$\underset{T}{\int }f(𝐱)d^n𝐱.$

dengan Templat:Math mewakili Templat:Math kelipatan Templat:Mvar dan Templat:Math merupakan diferensial volume berdimensi Templat:Mvar.

Integral Riemann suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi Templat:Mvar dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.

Integral Riemann berdimensi Templat:Mvar disebut integral lipat.

Sifat-sifat

Ada banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel seperti linearitas, komutitativitas, kemonotonan, dan sebagainya. Sifat yang penting mengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral adalah bebas dari urutan integran terhadap syarat-syarat tertentu. Sifat populer ini dikenal sebagai teorema Fubini.

Kasus istimewa

Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. Integral lipat dua dari Templat:Mvar di Templat:Mvar ditulis

$l=\underset{T}{\iint }f(x,y)dxdy$

untuk kasus Templat:Nowrap sedangkan integral lipat tiga dari Templat:Mvar di Templat:Mvar ditulis

$l=\underset{T}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

untuk kasus $T\subseteq {ℝ}^3$.

Perhatikan bahwa menurut konvensi, integral lipat ganda mempunyai dua tanda integral, sedangkan integral lipat tiga mempunyai tiga tanda integral.

Metode-metode pengintegralan

Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi integral teriterasi, sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui teorema Fubini, asalkan fungsinya kontinu. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.

Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:

Fungsi konstan integran

Ketika integrannya adalah fungsi konstan Templat:Mvar, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari Templat:Mvar dan ukuran domain pengintegralan. Jika Templat:Math dan domainnya merupakan subdaerah dari Templat:Math, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari Templat:Math, maka integral memberikan volume daerah.

Contoh. Misalkan Templat:Math dan

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:2\le x\le 4;3\le y\le 6\}$

maka integral darinya adalah

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}2dxdy=2\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=2\cdot \mathrm{luas}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,$

karena menurut definisi, diperoleh:

$\underset{3}{\overset{6}{\int }}\underset{2}{\overset{4}{\int }}1dxdy=\mathrm{luas}(D).$

Metode menggunakan simetri

Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah fungsi ganjil terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki nilai mutlak yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah fungsi genap terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.

Contoh 1. Tinjau fungsi Templat:Math diintegralkan pada domain

$T=\{(x,y)\in {ℝ}^2:x^2+y^2\le 1\},$

sebuah cakram berjari-jari 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.

Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:

$\underset{T}{\iint }(2\sin x-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }2\sin xdxdy-\underset{T}{\iint }3y^{3}dxdy+\underset{T}{\iint }5dxdy$

Fungsi Templat:Math adalah fungsi ganjil di variabel Templat:Mvar dan cakram Templat:Mvar simetri terhadap sumbu-Templat:Mvar, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi Templat:Math adalah fungsi ganjil dariTemplat:Mvar, dan Templat:Mvar simetri terhadap sumbu-Templat:Mvar, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5Templat:Pi.

Contoh 2. Tinjau fungsi Templat:Math dan ketika mengintegralkan daerah bola berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2+z^2\le 4\},$

maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-Templat:Mvar untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.

Contoh

Integral ganda di atas persegi panjang

Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel Templat:Mvar di suatu wilayah Templat:Mvar:

$A=\{(x,y)\in {𝐑}^2:11\le x\le 14;7\le y\le 10\}\text{ dan }f(x,y)=x^2+4y$

Dari sini kami merumuskan integral iterasi

$\underset{7}{\overset{10}{\int }}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dxdy$

Integral bagian dalam dilakukan terlebih dahulu, berintegrasi dengan Templat:Mvar dan mengambil Templat:Mvar sebagai konstanta, karena ini bukan variabel integrasi. Hasil integral ini, yang merupakan fungsi yang hanya bergantung pada Templat:Mvar, kemudian diintegrasikan sehubungan dengan Templat:Mvar.

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}(x^2+4y)dx& ={[\frac{1}{3}{x}^3+4yx]}_{x=11}^{x=14}\\ & =\frac{1}{3}(14{)}^3+4y(14)-\frac{1}{3}(11{)}^3-4y(11)\\ & =471+12y\end{array}$

Kami kemudian mengintegrasikan hasilnya sehubungan dengan Templat:Mvar.

$\begin{array}{cc}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(471+12y)dy& =[471y+6y^2{]}_{y=7}^{y=10}\\ & =471(10)+6(10{)}^2-471(7)-6(7{)}^2\\ & =1719\end{array}$

Dalam kasus di mana integral ganda dari nilai absolut fungsi berhingga, urutan integrasi dapat dipertukarkan, yaitu, x pertama dan mengintegrasikan sehubungan dengan y pertama menghasilkan hasil yang sama. Itulah Teorema Fubini. Misalnya, melakukan perhitungan sebelumnya dengan urutan terbalik memberikan hasil yang sama:

$\begin{array}{cc}\underset{11}{\overset{14}{\int }}\underset{7}{\overset{10}{\int }}(x^2+4y)dydx& =\underset{11}{\overset{14}{\int }}[x^{2}y+2y^2{]}_{y=7}^{y=10}dx\\ & =\underset{11}{\overset{14}{\int }}(3x^2+102)dx\\ & =[x^3+102x{]}_{x=11}^{x=14}\\ & =1719.\end{array}$

Integral ganda di atas domain normal

Example: double integral over the normal region D

Pertimbangkan wilayahnya (lihat grafik di contoh):

$D=\{(x,y)\in {𝐑}^2:x\ge 0,y\le 1,y\ge x^2\}$

Hitung

$\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy.$

Domain ini normal dalam kaitannya dengan x dan y sumbu. Untuk menerapkan rumus, diperlukan untuk menemukan fungsi yang menentukan D dan interval di mana fungsi ini didefinisikan. Dalam hal ini kedua fungsi tersebut adalah:

$\alpha (x)=x^2\text{ and }\beta (x)=1$

sedangkan interval diberikan oleh perpotongan fungsi dengan x = 0, jadi interval dari [a, b] = [0, 1] (normalitas telah dipilih sehubungan dengan sumbu x untuk pemahaman visual yang lebih baik).

Sekarang dimungkinkan untuk menerapkan rumus:

$\underset{D}{\iint }(x+y)dxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{x^2}{\overset{1}{\int }}(x+y)dy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx{[xy+\frac{y^2}{2}]}_{x^2}^1$

(pada awalnya integral kedua dihitung dengan mempertimbangkan x sebagai konstanta). Operasi yang tersisa terdiri dari penerapan teknik dasar integral:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{[xy+\frac{y^2}{2}]}_{x^2}^{1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+\frac{1}{2}-x^3-\frac{x^4}{2})dx=\cdots =\frac{13}{20}.$

Bila kita memilih normalitas sehubungan dengan sumbu y - kita dapat menghitung

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\sqrt{y}}{\int }}(x+y)dx.$

dan mendapatkan nilai yang sama.

Example of domain in R³ that is normal with respect to the xy-plane.

Menghitung volume

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.

• Tabung: Volume tabung dengan tinggi Templat:Mvar dan dasar lingkaran jari-jari Templat:Mvar dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta Templat:Mvar di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}h\rho d\rho =2\pi h{\left[\frac{{\rho }^2}{2}\right]}_0^R=\pi R^{2}h$

Ini sesuai dengan rumus volume sebuah prisma

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}=\text{luas alas}\times \text{tinggi}.$

• Bola: Volume bola dengan jari-jari Templat:Mvar dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas bola, menggunakan koordinat bola.

$\begin{array}{cc}\text{Volume}& =\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz\\ & =\underset{D}{\iiint }1dV\\ & =\underset{S}{\iiint }{\rho }^2\sin \phi d\rho d\theta d\phi \\ & =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{\rho }^{2}d\rho \\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi d\phi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{\rho }^{2}d\rho \\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \phi \frac{R^3}{3}d\phi \\ & =\frac{2}{3}\pi R^3[-\cos \phi {]}_0^{\pi }=\frac{4}{3}\pi R^3.\end{array}$

• Tetrahedron (segitiga piramida atau 3 - simpleks): Volume tetrahedron dengan puncaknya pada titik asal dan tepi panjang Templat:Mvar sepanjang Templat:Mvar-, Templat:Mvar- dan Templat:Mvar-sumbu dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta 1 di atas tetrahedron.

$\begin{array}{cc}\text{Volume}& =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}dx\underset{0}{\overset{\ell -x}{\int }}dy\underset{0}{\overset{\ell -x-y}{\int }}dz\\ & =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}dx\underset{0}{\overset{\ell -x}{\int }}(\ell -x-y)dy\\ & =\underset{0}{\overset{\ell }{\int }}(l^2-2\ell x+x^2-\frac{(\ell -x{)}^2}{2})dx\\ & ={\ell }^3-\ell {\ell }^2+\frac{{\ell }^3}{3}-{[\frac{{\ell }^{2}x}{2}-\frac{\ell x^2}{2}+\frac{x^3}{6}]}_0^{\ell }\\ & =\frac{{\ell }^3}{3}-\frac{{\ell }^3}{6}=\frac{{\ell }^3}{6}\end{array}$

Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah piramida

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}=\frac{1}{3}\times \text{luas dasar}\times \text{tinggi}=\frac{1}{3}\times \frac{{\ell }^2}{2}\times \ell =\frac{{\ell }^3}{6}.$

Example of an improper domain.

Beberapa integral tak wajar

Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan integral tidak tepat rangkap dua atau integral tidak tepat rangkap tiga.

Lihat pula

• Teorema analisis utama yang menghubungkan beberapa integral:
  • Teorema divergensi
  • Teorema Stokes
  • Teorema Green

Pranala luar

• eTemplat:MathWorld
• Templat:En Templat:SpringerEOM