Integral kuadratik

Dalam matematika, integral kuadratik adalah integral dengan bentuk umum

$\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$

dimana nilai $a\ne 0$. Integral di atas dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bagian penyebut, yaitu sebagai berikut

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{4a^2{x}^2+4abx+4ac}dx\\ & =\int \frac{4a}{{\left(2ax\right)}^2+(2ax)(b)+b^2-b^2+4ac}dx\\ & =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2-(b^2-4ac)}dx\\ \end{array}$

Kasus Diskriminan Positif

Diasumsikan nilai diskriminan $b^2-4ac>0$. Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu

• $2ax+b=t$
• $b^2-4ac=k^2$

yang mengakibatkan $2adx=dt$ dan $k=\sqrt{b^2-4ac}$. Dari sini, integral kuadratiknya menjadi

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2-(b^2-4ac)}dx\\ & =\int \frac{2}{t^2-k^2}dt\\ & =\int \frac{2}{(t-k)(t+k)}dt\end{array}$

Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, perhatikan bahwa

$\frac{2}{(t-k)(t-k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{t-k}-\frac{1}{t+k})$

Sehingga diperoleh

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{2}{(t-k)(t+k)}dt\\ & =\int \frac{1}{k}(\frac{1}{t-k}-\frac{1}{t+k})dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}(\ln |t-k|-\ln |t+k|)+\text{konstanta}\\ & =\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{t-k}{t+k}\right|+\text{konstanta}\\ & =\frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln \left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right|+\text{konstanta}\end{array}$

Kasus Diskriminan Nol

Pada kasus ini, informasi nilai $b^2-4ac=0$ akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2-(b^2-4ac)}dx\\ & =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2}dx\end{array}$

Dengan menggunakan substitusi $t=2ax+b$ (yang berarti $dt=2adx$), maka

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2}dx\\ & =\int \frac{2}{t^2}dt\\ & =-\frac{2}{t}+\text{konstanta}\\ & =-\frac{2}{2ax+b}+\text{konstanta}\end{array}$

Kasus Diskriminan Negatif

Dikarenakan nilai diskriminan $b^2-4ac<0$, maka suku kedua pada bagian penyebut dari

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2-(b^2-4ac)}dx\\ & =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2+(4ac-b^2)}dx\end{array}$

bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi

• $2ax+b=\sqrt{4ac-b^2}\tan t$
• $2adx=\sqrt{4ac-b^2}{\sec }^{2}tdt$
• ${\tan }^{2}t+1={\sec }^{2}t$ (lihat identitas Pythagoras)

Akibatnya,

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}& =\int \frac{4a}{{(2ax+b)}^2+(4ac-b^2)}dx\\ & =\int \frac{2}{{(\sqrt{4ac-b^2}\tan t)}^2+(4ac-b^2)}\cdot \sqrt{4ac-b^2}{\sec }^{2}tdt\\ & =\int \frac{2}{(4ac-b^2)({\tan }^{2}t+1)}\cdot \sqrt{4ac-b^2}{\sec }^{2}tdt\\ & =\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\int \frac{{\sec }^{2}t}{{\sec }^{2}t}dt\\ & =\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}t+\text{konstanta}\\ & =\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+\text{konstanta}.\end{array}$

Referensi

• Weisstein, Eric W. "Quadratic Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, wherein the following is referenced:
• Templat:Cite book