Grup topologi

Bilangan riil membentuk grup topologis di bawah penambahan

Dalam matematika, grup topologis adalah grup Templat:Mvar bersama dengan topologi pada $G$ sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan struktur aljabar dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.

Grup topologis, bersama dengan aksi grup kontinu, digunakan untuk mempelajari simetri kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya dalam fisika. Dalam analisis fungsional, setiap ruang vektor topologis adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.

Definisi formal

Grup topologis, Templat:Mvar, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab):

$\cdot :G\times G\to G$, $(x,y)\mapsto xy$

dan peta balikkan:

${-1}^{}:G\to G$, $x\mapsto x^{-1}$

adalah kontinu. Disini Templat:Math dipandang sebagai ruang topologi dengan topologi darab. Topologi seperti itu dikatakan serasi dengan operasi grup dan disebut topologi grup.

Memeriksa kekontinuan

Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk $x,y\in G$ dan setiap lingkungan $W$ dari $xy$ di $G$, terdapat lingkungan $U$ dari $x$ dan $V$ dari $y$ pada $G$ sehingga $U\cdot V\subseteq W$, dimana $U\cdot V:=\{u\cdot v:u\in U,v\in V\}$}. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika $x\in G$ dan suatu lingkungan $V$ dari $x^{-1}$ pada $G$, lingkungan $U$ dari $x$ ke $G$ sehingga $U^{-1}\subseteq V$, dimana $U^{-1}:=\{u^{-1}:u\in U\}$.

Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta

$G\times G\to G$, $(x,y)\mapsto (xy{)}^{-1}$

adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk $x,y\in G$ dan suatu lingkungan $W$ oleh $G$ dari Templat:Math, ada lingkungan $U$ dari $x$ dan $V$ dari $y$ di $G$ maka $U\cdot (V^{-1})\subseteq W$.

Notasi aditif

Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu:

$+:G\times G\to G$, $(x,y)\mapsto x+y$

$-:G\to G$, $x\mapsto -x$.

Ke-Hausdorff-an

Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis perlu bahwa topologi pada $G$ menjadi Hausdorff. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, sering kali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.

Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff.

Kategori

Dalam bahasa teori kategori, grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai objek grup dalam kategori ruang topologi, dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam kategori himpunan. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.

Kehomomorfan

Kehomomorfan dari grup topologis berarti kehomomorfan grup $G\to H$. Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk kategori. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada beberapa titik.Templat:Sfn

Keisomorfan dari grup topologis adalah grup keisomorfan yang juga merupakan homeomorfisme dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.

Contoh

Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskret; grup seperti itu disebut grup diskret. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi takdiskret (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.

Bilangan real, $ℝ$ dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. [[Ruang Euklides|Ruang Euklidean-Templat:Mvar]] dari ${ℝ}^n$ juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologis membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis Abel adalah grup lingkaran $S^1$, atau torus $(S^1{)}^n$ untuk bilangan asli $n$.

Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, grup linear umum $\mathrm{GL}(n,ℝ)$ mengenai semua terbalikkan matriks $n$ kali $n$ dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat $\mathrm{GL}(n,ℝ)$ sebagai subruang dari ruang Euklides ${ℝ}^{n\times n}$. Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal $\mathrm{O}(n)$, grup dari semua peta linear dari ${ℝ}^n$ terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Grup ortogonal adalah kompak sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari geometri Euklides dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat $O(n)⋉{ℝ}^n$ mengenai isometri dari ${ℝ}^n$.

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup Lie, artinya grup tersebut manifold halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif $\mathbb{Q}$ dari bilangan rasional, dengan topologi yang diwarisi dari $ℝ$. Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk teori bilangan adalah grup ${\mathbb{Z}}_p$ dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima $p$, yang berarti batas balikkan dari grup hingga $\mathbb{Z}/p^n$ karena $n$ menuju takterhingga. Grup ${\mathbb{Z}}_p$ is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena takterhubung.

Grup ${\mathbb{Z}}_p$ adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab $\prod _{n\ge 1}\mathbb{Z}/p^n$ sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga $\mathbb{Z}/p^n$ diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.

Grup topologis Abel lengkap

Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang filter dalam topologi.

Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatif

Templat:Main Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas Templat:Math.

Catatan:

• Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.
• Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.
• Setiap rombongan Templat:Math berisi diagonal Templat:Math} karena Templat:Math.
• Jika Templat:Mvar adalah simetris (yaitu Templat:Math) kemudian Templat:Math simetris (yaitu, Templat:Math) dan

  Templat:Math.

• Topologi yang diinduksi pada Templat:Mvar oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan Templat:Mvar (yaitu Templat:Math).

Pratapis dan jaring Cauchy

Teori umum ruang seragam s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada Templat:Mvar, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.

Ucapan:

• Misalkan Templat:Math adalah pratapis pada grup topologis komutatif Templat:Mvar dan Templat:Math. Kemudian Templat:Math di Templat:Mvar jika dan hanya jika Templat:Math dan Templat:Math adalah Cauchy.Templat:Sfn

Generalisasi

Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:Templat:Sfn

• Grup semitopologi adalah grup $G$ dengan topologi untuk Templat:Math dua fungsi Templat:Math didefinisikan oleh Templat:Math dan Templat:Math adalah kontinu.
• Grup kuasitopologi adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu.
• Grup paratopologi adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu.

Lihat pula

• Grup aljabar
• Grup kompak
• Ruang vektor topologis lengkap
• Grup Lie
• Grup kompak lokal
• Grup tak terbatas
• Gelanggang topologi
• Ruang vektor topologis

Bibliografi

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Cite book
• Templat:Citation
• Templat:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces