Grup siklik lokal

Templat:No footnotes Dalam teori grup, grup siklik lokal adalah grup ( G , *) di mana setiap subgrup yang dihasilkan secara hingga adalah siklik.

Beberapa fakta

• Setiap grup siklik adalah siklik lokal, dan setiap grup siklik lokal adalah abelian.Templat:Sfnp
• Setiap grup siklik lokal yang dihasilkan secara halus adalah siklik.
• Setiap subgrup dan grup hasil bagi dari grup siklik lokal adalah siklik lokal.
• Setiap gambar Homomorphic dari grup siklik lokal adalah siklik lokal.
• Grup adalah siklus lokal jika dan hanya jika setiap pasangan elemen dalam grup menghasilkan grup siklik.
• Sebuah grup bersiklus secara lokal jika dan hanya jika kisi subgrup adalah distributif Templat:Harv.
• Peringkat bebas torsi dari grup siklik lokal adalah 0 atau 1.
• Gelanggang endomorfisma dari grup siklik lokal adalah komutatif.Templat:Citation needed

Contoh grup siklik lokal yang bukan siklik

• Grup aditif dari bilangan rasional (Q, +) adalah siklus lokal - pasangan bilangan rasional apa pun a / b dan c / d terdapat dalam subgrup siklik yang dihasilkan oleh 1/bd.Templat:Sfnp
• Gugus aditif dari bilangan rasional diadik s, bilangan rasional bentuknya a/2^b, juga siklik lokal, pasangan bilangan rasional diadik apa pun a/2^b dan c/2^d dimuat dalam subgrup siklik yang dibuat oleh 1/2^max(b,d).
• Karena p menjadi bilangan prima apapun, dan maka μ_p^∞ menunjukkan himpunan semua p akar persatuan pada C, yaitu

${\mu }_{p^{\mathrm{\infty }}}=\{\exp \left(\frac{2\pi im}{p^k}\right):m,k\in \mathbb{Z}\}$

Kemudian μ_p^∞ adalah siklik lokal tetapi bukan siklik. Ini adalah grup Prüfer. Grup Prüfer 2 terkait erat dengan rasio diadik (dapat dilihat sebagai rasio diad modulo 1).

Contoh grup abelian yang bukan siklik lokal

• Grup aditif dari bilangan riil (R, +) bukan siklus lokal subgrup yang dihasilkan oleh 1 dan π terdiri dari semua bilangan berbentuk a + bπ. Grup ini isomorfik ke jumlah langsung Z + Z, dan grup ini bukan siklik.

Referensi

• Templat:Citation.

• Templat:Citation.

• Templat:Cite book