Fungsi integral logaritmik

Gambar yang memperlihatkan grafik fungsi logaritmik Templat:Math di bidang kompleks dari {{-2-2i ke 2+2i.

Dalam matematika, fungsi integral logaritmik atau logaritma integral (Templat:Lang-en, integral logarithm), yang dinyatakan sebagai Templat:Math, merupakan fungsi istimewa yang berkaitan dalam masalah fisika dan dalam teori bilangan. Menurut teorema bilangan prima, fungsi ini merupakan aproksimasi yang paling baik dalam menghitung fungsi penghitungan bilangan prima.

Representasi integral

Grafik fungsi integral logaritmik

Fungsi ini mempunyai representasi integral, yang terdefinisi untuk semua bilangan real positif Templat:Math dengan menggunakan integral tentu

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}.$

Pada rumus di atas, Templat:Math menyatakan logaritma alami. Fungsi Templat:Math mempunyai singularitas di Templat:Math, dan integral untuk Templat:Math dipandang sebagai nilai prinsip Cauchy.

$\mathrm{li}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}).$

Integral logaritmik Euler

Fungsi integral logaritmik Euler adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

$\mathrm{Li}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2).$

Representasi integral di atas mempunyai kegunaan untuk menghindari singularitas di domain pengintegralan.

Referensi

• Templat:Dlmf