Distribusi t Student

Pada teori peluang dan statistika, distribusi t Student (atau lebih sederhana distribusi t) Templat:Mvar adalah sebaran peluang yang menggeneralisasikan distribusi normal standar. Seperti distribusi normal, distribusi Templat:Mvar simetris di sekitar nol dan memiliki bentuk bel.

Namun, distribusi Templat:Mvar memiliki ekor yang lebih berat, dengan massa ekor bergantung pada parameter derajat kebebasan Templat:Mvar. Untuk Templat:Math, distribusi Templat:Mvar Student Templat:Mvar menjadi distribusi Cauchy standar, dengan ekor yang sangat "gemuk". Sementara itu, untuk Templat:Math, distribusi Templat:Mvar menjadi distribusi normal standar Templat:Math yang memiliki ekor yang "tipis".

Distribusi Templat:Mvar Students memainkan peran penting pada banyak analisis statistika, termasuk [[Uji t Student|uji Templat:Mvar Student]] untuk menguji signifikansi statistika dari perbedaan antara dua rerata sampel, pembangunan selang kepercayaan untuk perbedaan antara dua rerata populasi, dan pada analisis regresi linear.

Pada bentuk skala lokalisasi distribusi Templat:Mvar Templat:Math, distribusi ini menggeneralisasi distribusi normal dan juga muncul pada analisis Bayes pada data dari keluarga Templat:Ill keika dimarjinalkan oleh parameter variasi.

Definisi

Fungsi kepekatan probabilitas

Distribusi Templat:Mvar Student memiliki fungsi kepekatan probabilitas (probability density function; PDF) sebagai berikut:

$f(t)=\frac{1}{\sqrt{\nu }\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{\nu }{2})}{(1+\frac{t^2}{\nu })}^{-(\nu +1)/2},$

dengan Templat:Mvar adalah jumlah derajat kebebasan dan Templat:Math adalah fungsi gamma. Definisi ini juga dapat ditulis sebagai berikut:

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{\nu }}\cdot \frac{(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2}.$

dengan Templat:Math adalah fungsi beta. Pada beberapa nilai bilangan bulat derajat kebebasan Templat:Mvar , kita dapat: Untuk Templat:Math dan genap,

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}=\frac{1}{\pi \sqrt{\nu }}\cdot \frac{(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{(\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3}.$

Untuk Templat:Math dan ganjil,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(u)\mathrm{d}u=\frac{1}{2}+t\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{\nu +1}{2};\frac{3}{2};-\frac{t^2}{\nu }),$

Fungsi kerapatan probabilitas bernilai simetris dan bentuknya terlihat seperti bel selayaknya variabel yang terdistribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1, tetapi dengan bentuk yang sedikit lebih rendah dan lebar. Ketika nilai derajat kebabsannya meningkat, distribusi Templat:Mvar mendekati distribusi normal dengan rerata 0 dan variasi 1. Untuk alasan ini, parameter Templat:Mvar juga disebut sebagai parameter normalisasi.

Gambar berikut memperlihatkan kerapatan dari distribusi Templat:Mvar ketika nilai Templat:Mvar meningkat. Distribusi normal diperlihatkan dengan warna biru sebagai perbandingan. Catat bahwa distribusi Templat:Mvar (garis merah) menjadi lebih dekat dengan distribusi normal saat nilai Templat:Mvar meningkat. Templat:Multiple image

Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function; CDF) dapat dituliskan dalam bentuk Templat:Mvar, bentuk fungsi beta tidak lengkap. Untuk Templat:Math,

$F(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}f(u)\mathrm{d}u=1-\frac{1}{2}{I}_{x(t)}(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}),$

dengan

$x(t)=\frac{\nu }{t^2+\nu }.$

Nilai lain dapat dihitung dengan simetris. Persamaan alternatif, berlaku untuk Templat:Math, adalah

$f(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\pi \nu }\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\nu }{2}\right)}{(1+\frac{t^2}{\nu })}^{-(\nu +1)/2},$

dengan Templat:Math adalah salah satu contoh dari fungsi hipergeometris.

Untuk informasi lebih lanjut tentang fungsi distribusi kumulatif invers, lihat Templat:Slink

Kasus khusus

Beberapa nilai Templat:Mvar memberikan bentuk sederhana dari distribusi Templat:Mvar Students.

$\nu$	PDF	CDF	Catatan
1	$\frac{1}{\pi (1+t^2)}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (t)$	Lihat Distribusi Cauchy
2	$\frac{1}{2\sqrt{2}{(1+\frac{t^2}{2})}^{3/2}}$	$\frac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}}$
3	$\frac{2}{\pi \sqrt{3}{(1+\frac{t^2}{3})}^2}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }[\frac{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{(1+\frac{t^2}{3})}+\arctan \left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)]$
4	$\frac{3}{8{(1+\frac{t^2}{4})}^{5/2}}$	$\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\left[\frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{4}}}\right][1-\frac{t^2}{12(1+\frac{t^2}{4})}]$
5	$\frac{8}{3\pi \sqrt{5}{(1+\frac{t^2}{5})}^3}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }[\frac{t}{\sqrt{5}(1+\frac{t^2}{5})}(1+\frac{2}{3(1+\frac{t^2}{5})})+\arctan \left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)]$
$\mathrm{\infty }$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}$	$\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)]$	Lihat Distribusi normal, Templat:Ill

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Templat:Springer
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
• Templat:Citation First Students on page 112.
• Student's t-Distribution, Templat:Webarchive