Bukti bahwa e irasional

Templat:Konstanta matematika Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan siswa adik Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional, atau dalam kata lain tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Bukti Euler

Euler menulis bukti pertama irasionalitas e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots ,2n,1,1,\dots ].$

Bukti Fourier

Bukti yang paling dikenal adalah reductio ad absurdum Joseph Fourier, yang didasarkan pada pernyataan berikut:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\cdot$

Pada awalnya e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk ^a⁄_b. Perlu dicatat bahwa b tidak mungkin sama dengan satu karena e bukan bilangan bulat. Dari pernyataan di atas dapat ditunjukkan bahwa e hanya berada di antara 2 dan 3.

$2=1+\frac{1}{1!}<e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots <1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots )=3$

Bukti lain

Bukti lain dapat diperoleh dengan mencatat bahwa

$(b+1)x=1+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{(b+2)(b+3)}+\cdots <1+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\cdots =1+x,$

Pernyataan berikut juga dapat dijadikan sebagai bukti:

$\frac{1}{e}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\cdot$

Lihat pula

• Teorema Lindemann–Weierstrass