Bagian dalam (topologi)

Titik $x$ merupakan titik dalam dari $S$, sedangkan titik $y$ merupakan titik batas dari $S$.

Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian $H$ pada ruang topologis $X$ adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari $H$ yang terbuka pada $X$. Suatu titik yang berada pada interior dari $H$ disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari $H$.

Interior dari $H$ merupakan komplemen dari penutup komplemen dari $H$. Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.

Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan $H$ adalah komplemen dari penutup $H$, yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).

Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.

Definisi

Titik interior

Jika $H$ merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka $x$ dikatakan sebagai titik interior dari $H$ jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada $x$ dan termuat sepenuhnya pada $H$. Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.

Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian $H$ pada suatu ruang metrik $X$ dengan metrik $d$. Titik $x$ dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil $r>0$ sedemikian sehingga $a\in H$ ketika jarak $d(x,a)<r$.

Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika $H$ merupakan himpunan bagian dari ruang topologis $X$, maka $x$ dikatakan sebagai titik interior dari $H$ pada $X$ jika $x$ termuat pada suatu himpunan terbuka dari $X$ yang seluruhnya termuat pada $H$. Secara ekuivalen, $x$ adalah titik interior dari $H$ jika $H$ merupakan persekitaran dari $x$.

Interior dari suatu himpunan

Interior dari himpunan bagian $H$ pada suatu ruang topologis $X$, ditulis sebagai ${\mathrm{int}}_{X}H$ atau $\mathrm{int}H$ atau $H^{\circ }$, dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:

1. $\mathrm{int}H$ adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari $X$ yang termuat pada $H$.
2. $\mathrm{int}H$ adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari $X$ yang termuat pada $H$.
3. $\mathrm{int}H$ adalah himpunan semua titik interior dari $H$.

Jika ruang $X$ dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek $\mathrm{int}H$ lebih diminati daripada ${\mathrm{int}}_{X}H$.

Contoh

$a$ merupakan titik interior dari $M$ sebab terdapat persekitaran berjarak $\epsilon$ yang merupakan himpunan bagian dari $M$.

1. Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
2. Dalam setiap ruang $X$, jika $H\subseteq X$, maka $\mathrm{int}H\subseteq H$.
3. Jika $X=$ $ℝ$ (dengan topologi baku), maka $\mathrm{int}\left([0,1]\right)=(0,1)$ sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka $\mathrm{int}\mathbb{Q}=\varnothing$.
4. Jika $X=$ $ℂ$, maka $\mathrm{int}\left(\{z\in ℂ:\left|z\right|\le 1\}\right)=\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\}$.
5. Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.

Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

1. Jika digunakan topologi limit bawah, maka $\mathrm{int}\left([0,1]\right)=[0,1)$.
2. Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka $\mathrm{int}\left([0,1]\right)=[0,1]$.
3. Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan $ℝ$ itu sendiri, maka $\mathrm{int}\left([0,1]\right)=\varnothing$.

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

1. Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
2. Dalam setiap ruang takdiskret $X$, oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah $\varnothing$ dan $X$ itu sendiri, maka $\mathrm{int}X=X$ dan untuk sembarang $H\subset X$, maka $\mathrm{int}H=\varnothing$.

Sifat-sifat

Diberikan suatu ruang topologis $(X,T)$. Diambil sembarang $A\subseteq X$ dan $B\subseteq X$.

1. $\mathrm{int}A$ merupakan himpunan terbuka pada $X$.
2. Jika $A$ terbuka pada $X$, maka $A\subseteq B$ jika dan hanya jika $A\subseteq \mathrm{int}B$.
3. $\mathrm{int}A$ merupakan himpunan bagian terbuka dari $A$ ketika $A$ diberikan topologi subruang.
4. $A$ merupakan himpunan bagian terbuka dari $X$ jika dan hanya jika $A=\mathrm{int}A$.
5. Intensif: $\mathrm{int}H\subseteq H$.
6. Idempoten: $\mathrm{int}(\mathrm{int}A)=\mathrm{int}A$.
7. Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan: $\mathrm{int}(A\cap B)=(\mathrm{int}A)\cap (\mathrm{int}B)$.
   Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi $\mathrm{int}(A\cup B)\supseteq (\mathrm{int}A)\cup (\mathrm{int}B)$ dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika $X=ℝ$, $A=[0,1]$, dan $B=(1,2)$, maka $$(\mathrm{int}A)\cup (\mathrm{int}B)=(0,1)\cup (1,2)\subset (0,2)=\mathrm{int}(A\cup B)$$
8. Monoton tak turun terhadap $\subseteq$: Jika $A\subseteq B$, maka $\mathrm{int}A\subseteq \mathrm{int}B$.

Sifat lainnya antara lain:

1. Jika $A$ tertutup dan $\mathrm{int}B=\varnothing$, maka $\mathrm{int}(A\cup B)=\mathrm{int}A$.

Hubungan dengan penutup

Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

"interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"

berturut-turut diganti dengan

"penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"

dan simbol-simbol berikut ditukar:

1. $\subseteq$ ditukar dengan $\supseteq$
2. $\cup$ ditukar dengan $\cap$

Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.

Operator interior

Operator interior ${\mathrm{int}}_X$ merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai ${\mathrm{cl}}_X$ atau dengan garis atas ^—, dalam artian bahwa $${\mathrm{int}}_{X}H={\left(\overline{H^{𝖼}}\right)}^{𝖼}$$ dan juga $$\bar{H}={({\mathrm{int}}_X(H^{𝖼}))}^{𝖼}$$ dengan $X$ menyatakan ruang topologis yang memuat $H$, dan simbol ${\phantom{l}}^{𝖼}$ menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada $X$.

Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap: Templat:Math theorem

Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.

Eksterior dari suatu himpunan

Eksterior dari himpunan bagian $H$ pada ruang topologis $X$, ditulis sebagai ${\mathrm{ext}}_{X}H$ atau $\mathrm{ext}H$, adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan $H$, yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada $X$ yang saling asing dengan $H$. Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup.Templat:Sfn Secara simbolis, maka $$\mathrm{ext}H=\mathrm{int}{H}^{𝖼}={\left(\bar{H}\right)}^{𝖼}$$

Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka, $$\mathrm{int}H=\mathrm{ext}{H}^{𝖼}$$

Interior, batas, dan eksterior dari himpunan $H$ bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka $$X=\mathrm{int}H\cup \partial H\cup \mathrm{ext}H$$ dengan $\partial H$ menyatakan batas dari $H$.Templat:Sfn Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.

Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

1. Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika $A\subseteq B$, maka $\mathrm{ext}B\subseteq \mathrm{ext}A$.
2. Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa $\mathrm{int}A\subseteq \mathrm{ext}(\mathrm{ext}A)$.

Lihat juga

• Interior aljabar
• DE-9IM
• Aljabar interior
• Teorema kurva Jordan
• Interior kuasi-relatif

Pranala luar

• Templat:En icon Templat:PlanetMath