Aturan Sturges

Templat:Short description Aturan Sturges, kaidah Sturges, atau rumus Sturges adalah metode untuk menentukan banyaknya kelas saat membuat histogram. Diberikan $n$ data observasi, aturan Sturges menyatakan bahwa jumlah dari kelas histogramnya ialah $$\hat{k}=1+{}^2\log \left(n\right)$$ kelas. Aturan ini dinamai dari Herbert Sturges.

Aturan ini digunakan secara luas pada perangkat lunak analisis data, termasuk Python dan R, dimana aturan ini merupakan metode bawaan dalam pemilihan kelas.

Penurunan rumus

Aturan Sturges berasal dari distribusi binomial yang digunakan sebagai hampiran diskrit dari distribusi normal. Jika fungsi $f$ yang akan didekati berdistribusi binomial, maka $$f(i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})p^i{(1-p)}^{m-i}$$ dengan

• $m$ menyatakan banyaknya percobaan
• $p$ menyatakan peluang berhasil, dan
• $i$ menyatakan banyaknya percobaan yang berhasil dari $m$ percobaan yang dilakukan.

Perhatikan bahwa $i$ memiliki $m+1$ nilai, yaitu $i\in \{0,1,2,\dots ,m\}$. Jika $i$ diartikan sebagai indeks kelas, maka diperoleh relasi $k=m+1$ atau $m=k-1$. Dengan memilih nilai $p=\frac{1}{2}$, maka diperoleh $$\begin{array}{cc}f(i)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})p^i{(1-p)}^{m-i}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}){\left(\frac{1}{2}\right)}^i{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1-i}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}){\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i})2^{-(k-1)}\end{array}$$ Berdasarkan persamaan di atas, maka suku $2^{-(k-1)}$ dapat dipandang sebagai faktor penormalan dan aturan Sturges menyatakan bahwa sampelnya harus menghasilkan histogram dengan banyaknya sampel pada masing-masing kelas sesuai dengan koefisien binomial, yaitu kelas ke-$i$ memiliki $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i})$ data observasi. Oleh karena banyaknya sampelnya berjumlah tetap (yaitu sebanyak $n$), maka didapatkan $$n=\sum _{x=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{x})=2^{k-1}$$ melalui rumus jumlah dari koefisien binomial. Akibatnya, diperoleh $$\begin{array}{cc}{2}^{k-1}& =n\\ k-1& ={}^2\log \left(n\right)\\ k& =1+{}^2\log \left(n\right)\end{array}$$ Secara umum, hasil dari aturan Sturges bukanlah bilangan bulat, sehingga harus dilakukan pembulatan.