Aljabar Akivis

Dalam matematika dan khususnya studi aljabar, aljabar Akivis adalah aljabar nonasosiatif yang dilengkapi dengan operator biner, komutator $[x,y]$ dan operator terner, asosiasi $[x,y,z]$ yang memenuhi hubungan tertentu yang dikenal sebagai identitas Akivis. Nama tersebut digunakan untuk menghormati matematikawan asal Rusia Maks A. Akivis.

Secara formal, jika $A$ adalah ruang vektor Medan atas $𝔽$ dari karakteristik nol, $A$ adalah aljabar Akivis jikalau operasi $(x,y)\mapsto [x,y]$ adalah bilinear dan antikomutatif; dan operator trilinear $(x,y,z)\mapsto [x,y,z]$ memenuhi identitas Akivis:

$[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]-[x,z,y]-[y,x,z]-[z,y,x].$

Aljabar Akivis dengan $[x,y,z]=0$ adalah sebuah aljabar Lie, karena identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi. Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan memiliki tanda positif untuk permutasi genap dan tanda negatif untuk permutasi ganjil dari $x,y,z$.

Aljabar apa-pun (bahkan jika nonasosiatif) adalah aljabar Akivis kalau didefinisikan $[x,y]=xy-yx$ dan $[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$. Diketahui bahwa semua aljabar Akivis direpresentasikan sebagai subaljabar dari aljabar (mungkin nonasosiatif) dengan cara ini (untuk aljabar asosiatif, pengasosiasinya identik dengan nol, dan identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi).

Referensi

• M. R. Bremner, I. R. Hentzel, and L. A. Peresi 2005. "Dimension formulas for the free nonassociative algebra". Communications in Algebra 33:4063-4081.

Templat:Algebra-stub