Aksioma peluang

Templat:Short description Aksioma peluang standar adalah fondasi dari teori peluang yang diperkenalkan oleh matematikawan Andrey Kolmogorov pada tahun 1933. Aksioma-aksioma ini tetap menjadi pokok dan memiliki kontribusi langsung pada matematika, ilmu fisika, dan kasus-kasus peluang dalam kehidupan nyata.

Terdapat beberapa pendekatan lainnya (yang ekuivalen) dalam memformalkan peluang. Para ahli Bayesian seringkali memotivasi aksioma Kolmogorov dengan menggunakan teorema Cox sebagai gantinya.

Aksioma Kolmogorov

Aksioma Kolmogorov dapat dirangkum sebagai berikut: Diberikan suatu ruang ukuran $(X,ℱ,P)$, dengan $P\left(A\right)$ menyatakan peluang terjadinya kejadian $A$ dan $P\left(X\right)=1$, maka tripel $(X,ℱ,P)$ adalah ruang peluang, dengan $X$ sebagai ruang sampel, $ℱ$ sebagai ruang kejadian, dan $P$ sebagai ukuran peluang.

Tak negatif

Peluang dari suatu kejadian adalah suatu bilangan riil tak negatif. $$P\left(A\right)\ge 0\mathrm{\forall }A\in ℱ$$

Teori yang mengunakan nilai peluang negatif melonggarkan aksioma pertama.

Unitaritas

Peluang terjadinya suatu kejadian sederhana pada ruang sampel ialah 1. $$P\left(X\right)=1$$

Dengan menggabungkan aksioma pertama dan kedua, maka nilai peluang $P\left(A\right)$ pasti berhingga, berbeda dengan teori ukur secara umum.

Aditif-sigma

Setiap barisan himpunan terhitung $⟨A_n⟩$ yang bersifat saling lepas (atau dengan kata lain, himpunan kejadian-kejadian yang saling lepas) akan memenuhi persamaan berikut. $$P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup \dots )=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)+\dots$$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi gabungan besar, maka $$P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_n\right)$$

Beberapa penulis hanya mensyaratkan ruang peluang aditif berhingga, yang dalam kasus tersebut, cukup diperlukan himpunan aljabar, daripada aljabar sigma.

Sifat-sifat peluang

Berdasarkan aksioma Kolmogorov di atas, maka dapat dibuktikan beberapa sifat peluang. Bukti dari sifat-sifat ini mengilustrasikan seberapa kuatnya aksioma ketiga, beserta interaksinya dengan dua aksioma pertama.

Diberikan suatu ruang peluang $(X,ℱ,P)$ dan diambil sembarang $A,B\in ℱ$. Beberapa sifat peluang antara lain:

Monoton

Jika $A\subseteq B$, maka $$P\left(A\right)\le P\left(B\right)$$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $$\begin{array}{ccccc}A& \cap & (B\setminus A)& =& \varnothing \\ A& \cup & (B\setminus A)& =& B\\ P\left(A\right)& +& P(B\setminus A)& =& P\left(B\right)\end{array}$$ Pada baris kedua, gabungan dari himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$ adalah himpunan $B$, sebab diketahui bahwa $A\subseteq B$. Berdasarkan aksioma tak negatif, maka diperoleh $$\begin{array}{cc}P(B\setminus A)& \ge 0\\ P\left(B\right)-P\left(A\right)& \ge 0\\ P\left(B\right)& \ge P\left(A\right)\end{array}$$ sehingga terbukti bahwa $P\left(A\right)\le P\left(B\right)$ apabila $A\subseteq B$.

Peluang dari himpunan kosong

$$P\left(\varnothing \right)=0$$ Dalam banyak kasus, $\varnothing$ bukanlah satu-satunya kejadian dengan nilai peluang 0.

Bukti:

Salah satu sifat dari himpunan kosong adalah $$\varnothing \subseteq A$$ Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $$\begin{array}{ccccc}A& \cap & \varnothing & =& \varnothing \\ A& \cup & \varnothing & =& A\\ P\left(A\right)& +& P\left(\varnothing \right)& =& P\left(A\right)\end{array}$$ Dengan mengurangi kedua ruas pada persamaan di atas dengan $P\left(A\right)$, maka terbukti bahwa $$P\left(\varnothing \right)=0$$

Peluang komplemen

$$P\left(A^{\prime }\right)=1-P\left(A\right)$$ dengan $A^{\prime }$ menyatakan komplemen dari himpunan $A$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A$ dan $A^{\prime }$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka $$\begin{array}{ccccc}A& \cap & A^{\prime }& =& \varnothing \\ A& \cup & A^{\prime }& =& X\\ P\left(A\right)& +& P\left(A^{\prime }\right)& =& P\left(X\right)\end{array}$$ Berdasarkan aksioma Unitaritas, maka $P\left(X\right)=1$, sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai $$\begin{array}{cc}P\left(A\right)+P\left(A^{\prime }\right)& =1\\ P\left(A^{\prime }\right)& =1-P\left(A\right)\end{array}$$

Nilai numerik

$$0\le P\left(A\right)\le 1$$

Bukti:

Telah diperoleh sebelumnya bahwa peluang bersifat monoton. Akibatnya, $$\begin{array}{cc}\varnothing & \subseteq A\subseteq X\\ P\left(\varnothing \right)& \le P\left(A\right)\le P\left(X\right)\\ 0& \le P\left(A\right)\le 1\end{array}$$

Aturan penjumlahan

$$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$$

Bukti:

Perhatikan himpunan $A\cap B$ dan $B\setminus A$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan $$\begin{array}{ccccc}(A\cap B)& \cap & (B\setminus A)& =& \varnothing \\ (A\cap B)& \cup & (B\setminus A)& =& B\\ P(A\cap B)& +& P(B\setminus A)& =& P\left(B\right)\end{array}$$

Sekarang perhatikan himpunan $A$ dan himpunan $B\setminus A$. Berdasarkan aksioma aditif-sigma, maka didapatkan $$\begin{array}{ccccc}A& \cap & (B\setminus A)& =& \varnothing \\ A& \cup & (B\setminus A)& =& A\cup B\\ P\left(A\right)& +& P(B\setminus A)& =& P(A\cup B)\end{array}$$

Berdasarkan kedua persamaan di atas, maka diperoleh $$\begin{array}{cc}P(B\setminus A)+P(A\cap B)& =P\left(B\right)\\ P(B\setminus A)& =P\left(B\right)-P(A\cap B)\\ P\left(A\right)+P(B\setminus A)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\\ P(A\cup B)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\end{array}$$

Rumus ini dapat diperluas untuk lebih dari dua himpunan, yang dikenal dengan prinsip inklusi-eksklusi.

Lihat juga

• Aljabar Borel
• Peluang bersyarat
• Statistika Intuitif
• Teori himpunan
• Aljabar sigma

Bacaan lanjutan

• Templat:En icon Templat:Cite book
• Templat:En icon Templat:Cite book