Bola pejal (matematika)

Dalam ruang Euklides, bola pejal merupakan volume yang dibatasi bola.

Dalam matematika, bola pejal (atau bola pepat) adalah bangunan ruang yang dibatasi volume bola, yang disebut juga sebagai bola padat. Bola dapat dikatakan sebagai bola tertutup (Templat:Lang-en), yang mencakup titik batas yang membentuk bola) atau disebut sebagai bola terbuka (Templat:Lang-en), yang mengecualikan titik batas yang membentuk bola.

Konsep ini tidak hanya didefinisikan dalam ruang Euklides berdimensi tiga, melainkan untuk dimensi yang lebih rendah dan lebih tinggi pula, dan untuk ruang metrik secara umum. Bola pejal dalam dimensi Templat:Mvar disebut bola pejal-Templat:Mvar dan dibatasi oleh hiperbola atau [[Bola-n|bola-(Templat:Math)]]. Jadi, sebagai contoh, bola pejal dalam bidang Euklides merupakan hal yang serupa dengan cakram, yang dibatasi lingkaran. Dalam ruang berdimensi tiga Euklides, bola pejal diambil sebagai volume yang dibatasi dengan bola berdimensi dua. Dalam ruang berdimensi satu, bola pejal merupakan sebuah ruas garis.

Dalam ruang Euklides

Dalam ruang Euklides ke-Templat:Mvar, bola pejal-Templat:Mvar (terbuka) dengan jari-jari Templat:Mvar dan pusat Templat:Mvar merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari Templat:Mvar yang jauh dari Templat:Mvar. Sedangkan bola pejal-Templat:Mvar tertutup dengan jari-jari Templat:Mvar merupakan himpunan dari semua titik dengan jarak kurang dari atau sama dengan nilai Templat:Mvar yang jauh dari Templat:Mvar.

Volume

Templat:MainDalam ruang Euklides berdimensi-Templat:Mvar, volume berdimensi-Templat:Mvar dari bola pejal Euklides dengan jari-jari Templat:Mvar dirumuskan sebagai:

$V_n(R)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n,$

dengan Templat:Math merupakan fungsi gamma Leonhard Euler (yang dapat dipandang sebagai perluasan dari fungsi faktorial hingga ke argumen fraksional). Menggunakan rumus eksplisit nilai khusus dari fungsi gamma di bilangan bulat dan setengah bilangan bulat, memberikan rumus volume dari bola pejal Euklides yang tanpa menggunakan perhitungan fungsi gamma. Rumus tersebut adalah:

$\begin{array}{cc}{V}_{2k}(R)& =\frac{{\pi }^k}{k!}{R}^{2k},\\ V_{2k+1}(R)& =\frac{2^{k+1}{\pi }^k}{(2k+1)!!}{R}^{2k+1}=\frac{2(k!)(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}{R}^{2k+1}.\end{array}$

Dalam rumus volume berdimensi ganjil, faktorial ganda Templat:Math didefinisikan untuk bilangan bulat ganjil Templat:Math sebagai

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2k-1)\cdot (2k+1).$

Lihat pula

• Bola, dalam pengertian biasa
• Cakram (matematika)
• Bola pejal formal
• Persekitaran (matematika)
• Bola (geometri), bentuk geometrik yang mirip
• Bola berdimensi tiga
• [[Bola-n|Bola-Templat:Mvar]] atau hiperbola
• Bola bertanduk Alexander
• Manifold
• Volume dari bola-[[Bola-n|Templat:Mvar]]
• Oktahedron, bola berdimensi tiga dalam metrik Templat:MathTemplat:Sub

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal