Hukum Stefan–Boltzmann

Total energi yang dipancarkan, $j\equiv M^{\circ }$, dari benda hitam dalam fungsi terhadap suhunya, $T$. Kurva yang berwarna hitam memperlihatkan hukum Stefan–Boltzmann law, $M^{\circ }=\sigma T^4$. Sementara itu, kurva biru yang di bawah memperlihatkan total energi berdasarkan pendekatan Wien, $M_W^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\sigma T^4$

Hukum Stefan–Boltzmann, juga dikenal sebagai hukum Stefan, adalah hukum yang mendeskripsikan intensitas dari radiasi termal yang dikeluarkan oleh suatu benda dalam bentuk suhu dari benda tersebut. Hukum ini dinamakan sesuai dengan Josef Stefan, yang menurunkan hubungan secara empiris, dan Ludwig Boltzmann, yang menurunkan hukumnya secara teori.

Untuk penyerap atau pemancar yang dikenal sebagai benda hitam, hukum Stefan–Boltzmann mengatakan bahwa total energi yang dipancarkan per satuan luas permukaan per satuan waktu (juga dikenal sebagai radiant exitance) memiliki proporsional dengan pangkat empat dari suhu benda hitam tersebut, $T$:

$$M^{\circ }=\sigma T^4$$

Konstanta proporsional, $\sigma$, disebut sebagai konstanta Stefan–Boltzmann. Konstanta ini memiliki nilai:

Secara umum, hukum Stefan–Boltzmann untuk radiasi yang keluar adalah:

$$M=\epsilon M^{\circ }=\epsilon \sigma T^4,$$dengan $\epsilon$ adalah emisivitas dari permukaan yang mengeluarkan radiasi. Nilai emisivitas ini biasanya bernilai antara nol dan satu, dengan nilai satu pada emisivitas dimiliki oleh benda hitam.

Sejarah

Pada tahun 1864, John Tyndall mempresentasikan pengukuran dari emisi inframerah dari filamen platina dan warna pada filamen tersebut.Templat:Sfn Proporsional kepada pangkat empat dari suhu absolut diturunkan oleh Josef Stefan (1835–1893) pada 1877 berdasarkan pengukuran eksperimen Tyndall.

Penurunan hukum dari pertimbangan teoritis dipresentasikan oleh Ludwig Boltzmann (1844–1906) pada tahun 1884, ditulis berdasarkan karya Adolfo Bartoli. Bartoli pada 1876 menurunkan keadaan tekanan radiasi dari prinsip termodinamika. Setelah Bartoli, Boltzmann mempelajari sebuat mesin kalor ideal menggunakan radiasi elektromagnetisme sebagai zat penggerak, dibandingkan dengan gas ideal.

Hukum ini hampir langsung diverifikasi secara eksperimentasi. Heinrich Weber pada 1888 menunjukkan turunan pada suhu lebih tinggi, tapi akurasi dalam ketidakpastian pengukuran mengonfirmasi suhu hingga Templat:Convert pada 1897.Templat:Sfn Hukum ini, termasuk pada prediksi konstanta Stefan–Boltzmann sebagai fungsi terhadap laju cahaya, konstanta Boltzmann, dan konstanta Planck, adalah konsekuensi langsung terhadap hukum Planck yang diformulasikan pada 1900.

Konstanta Stefan–Boltzmann

Templat:Main Konstanta Stefan–Boltzmann, $\sigma$, diturunkan dari konstanta fisika lainnya:

$$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}$$dengan $k$ adalah konstanta Boltzmann, $h$ adalah konstanta Planck, dan $c$ adalah kecepatan cahaya di ruang hampa.Templat:Rp

Sejak redefinisi satuan pokok SI 2019, yang menetapkan nilai tepat untuk $k$, $h$, dan $c$, maka konstanta Stefan–Boltzmann bernilai:

$$\sigma =\left[\frac{2{\pi }^5{(1.380649\times 10^{-23})}^4}{15{(2.99792458\times 10^8)}^2{(6.62607015\times 10^{-34})}^3}\right]\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4}$$

Maka,

Sebelum ini, nilai dari $\sigma$ dihitung dari pengukuran nilai tetapan gas.

Nilai dari konstanta Stefan–Boltzmann berbeda pada sistem satuan yang lain, seperti yang diperlihatkan di bawah.

Asal-usul

Penurunan termodinamika dari kepadatan energi

Fakta bahwa kepadatan energi dari suatu wadah yang menampung radiasi proporsional dengan $T^4$ dapat diturunkan dengan termodinamika. Penurunan ini menggunakan hubungan antara tekanan radiasi $p$ dan kepadatan energi dalam $u$, sebuah hubungan yang dapat diperlihatkan dengan menggunakan bentuk tensor tegangan–energi elektromagnetik. Hubungan ini dapat ditulis sebagai: $$p=\frac{u}{3}$$.

Sekarang, dari relasi fundamental termodinamika $$dU=TdS-pdV,$$

kita mendapatkan ekspresi berikut, setelah membagi $dV$ dan menetapkan $T$: $${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T-p=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p.$$

Persamaan terakhir muncul oleh karena relasi Maxwell: $${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T={\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V.$$

Dari definisi kepadatan energi, maka: $$U=uV$$

dengan kepadatan energi dari radiasi hanya bergantung pada suhu, maka: $${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=u{\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)}_T=u.$$

Sekarang, persamaannya menjadi: $$u=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p,$$ setelah substitusi ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T.$

Sementara itu, tekanan adalah laju perubahan momentum per satuan luas. Karena momentum dari foton bernilai sama dengan energi yang dibagi oleh kelajuan cahaya, $$u=\frac{T}{3}{\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_V-\frac{u}{3},$$

dengan faktor 1/3 muncul dari proyeksi transfer momentum ke arah normal dinding wadah.

Karena turunan parsial ${\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_V$ dapat diekspresikan sebagai hubungan antara $u$ dan $T$ (jika mereka diletakkan pada satu sisi persamaan), turunan parsial tersebut dapat diubah menjadi turunan biasa. Setelah memisahkan turuan, persamaan tersbeut menjadi $$\frac{du}{4u}=\frac{dT}{T},$$ yang menghasilkan $u=A{T}^4$, dengan $A$ sebagai konstanta integrasi.

Penurunan dari hukum Planck

Menurunkan hukum Stefan–Boltzmann menggunakan hukum Planck.

Hukum Stefan–Boltzmann dapat diturunkan dengan mempertimbangkan permukaan benda hitam datar kecil yang mengeluarkan radiasi ke sebuah setengah bola. Penurunan ini menggunakan sistem koordinat bola, dengan $\theta$ sebagai sudut zenit dan $\phi$ sebagai sudut azimut; dan permukaan benda hitam datar kecil berada pada bidang xy, dengan $\theta =\frac{\pi }{2}$.

Intensitas cahaya yang dipancarkan dari permukaan benda hitam tersebut diberikan oleh hukum Planck:

$$I(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{h\nu /(kT)}-1},$$ dengan

• $I(\nu ,T)$ adalah jumlah daya per satuan luas permukaan per satuan Templat:Ill per satuan frekuensi yang dipancarkan di frekuensi $\nu$ oleh benda hitam di suhu $T$
• $h$ adalah konstanta Planck
• $c$ adalah kelajuan cahaya, dan
• $k$ adalah konstanta Boltzmann.

Kuantitas $I(\nu ,T)A\cos \theta d\nu d\mathrm{\Omega }$ adalah daya yang diradiasikan oleh luas permukaan $A$ melalui sudut padat $d\mathrm{\Omega }$ pada frekuensi antara $\nu$ dan $\nu +d\nu$.

Hukum Stefan–Boltzmann memberikan daya yang dipancarkan per satuan luas dari benda pemancar: $$\frac{P}{A}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \int \cos \theta d\mathrm{\Omega }$$

Catatan: kosinus muncul karena benda hitam adalah Lambertian (mereka mematuhi hukum kosinus Lambert), yang berarti intensitas yang diamati melalui bola adalah intensitas nyata dikali dengan kosinus dari sudut zenit.

Untuk menurunkan hukum Stefan–Boltzmann, kita perlu mengintegrasikan $d\mathrm{\Omega }=\sin \theta d\theta d\phi$ terhadap setengah bola dan mengintegrasikan $\nu$ dari 0 hingga ∞.

$$\begin{array}{cc}\frac{P}{A}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos \theta \sin \theta d\theta \\ & =\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \end{array}$$

Lalu kita masukkan $I$: $$\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\nu }^3}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}d\nu$$

Untuk mengevaluasi integral, lalukan substitusi: $$\begin{array}{cc}u& =\frac{h\nu }{kT}\\ du& =\frac{h}{kT}d\nu \end{array}$$

yang menghasilkan: $$\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}{\left(\frac{kT}{h}\right)}^4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u^3}{e^u-1}du.$$

Integral di kanan adalah standar dan memiliki banyak nama: polilogaritme atau fungsi zeta Riemann $\zeta (s)$. Nilai dari integral tersebut adalah $\mathrm{\Gamma }(4)\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{15}$ (dengan $\mathrm{\Gamma }(s)$ adlaah fungsi gamma), yang menghasilkan persamaan berikut untuk permukaan benda hitam sempurna:

$$M^{\circ }=\sigma T^4,\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}=\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}.$$

Akhirnya, pembuktian ini dimulai hanya mempertimbangkan permukaan datar kecil. Namun, permukaan yang dapat didiferensialkan dapat dikira dengan koleksi permukaan datar kecil. Selama geometri dari permukaan tidak membuat benda hitam menyerap kembali radiasinya sendiri, total energi yang dipancarkan adalah jumlah dari energi yang dipancarkan oleh masing-masing permukaan; dan total luas permukaan hanyalah penjumlahan dari luas masing-masing permukaan. Jadi, hukum ini juga berlaku untuk benda hitam cembung, selama permukaannya memiliki suhu yang sama. Hukum ini diperluas hingga radiasi dari benda noncembung dengan menggunakan fakta bahwa selubung cembung darn benda hitam memancarkan radiasi walaupun dirinya adalah benda hitam.

Kepadatan Energi

Total kepadatan energi $U$ juga dapat dihitung dengan cara yang mirip, tapi integrasinya sepanjang seluruh bola dan tidak ada kosinus, dan fluks energi ($Uc$) harus dibagi dengan kecepatan $c$ untuk memberikan kepadatan energi $U$:

$$U=\frac{1}{c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu ,T)d\nu \int d\mathrm{\Omega }$$

Maka, ${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta$ digantikan oleh ${\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta$, menghasilkan tambahan faktor 4.

Maka, totalnya: $$U=\frac{4}{c}\sigma T^4$$

Faktor $\frac{4}{c}\sigma$ kadang dikenal sebagai konstanta radiasi atau konstanta kepadatan radiasi.

Daftar pustaka

• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book