Resolusi (teori Galois)

Dalam teori Galois, disiplin dalam bidang aljabar abstrak, resolusi untuk grup permutasi G adalah polinomial koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu p dan akar rasional jika dan hanya jika grup Galois dari p termasuk dalam G. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam G, maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah akar sederhana. Resolusi ditemukan oleh Joseph Louis Lagrange dan secara sistematis digunakan oleh Évariste Galois. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung grup Galois. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah

• $X^2-\mathrm{\Delta }$ dimana $\mathrm{\Delta }$ adalah diskriminan, yang merupakan resolvent untuk grup alternatif. Dalam kasus persamaan kubik, resolusi ini kadang disebut resolusi kuadrat; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.
• Resolusi kubik dari sebuah persamaan kuartik, yang merupakan penyekat untuk grup dihedral dari 8 elemen.
• Resolusi Cayley adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat seperabel, yang berarti, jika akar polinomial p tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui resolusi yang dapat dipisahkan untuk grup permutasi.

Untuk persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.

Definisi

Misalkan Templat:Mvar adalah bilangan bulat positif, derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan Templat:Math daftar tak tentu. Hal ini mendefinisikan polinomial generik dari derajat Templat:Mvar

$F(X)=X^n+\sum _{i=1}^n(-1{)}^i{E}_i{X}^{n-i}=\prod _{i=1}^n(X-X_i),$

dimana Templat:Math adalah i^ke polinomial simetris dasar.

Grup simetris Templat:Math dari tindakan Templat:Math dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial Templat:Math. Pemusat dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup Templat:Math. Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa subgrup non-trivial Templat:Mvar; sebagai invarian dari Templat:Mvar. Sebaliknya, subgrup Templat:Mvar dari Templat:Math, invarian dari Templat:Mvar adalah resolusi invarian untuk Templat:Mvar jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari Templat:Math.

Invarian untuk subgrup tertentu Templat:Mvar dari Templat:Math relatif mudah; menjumlahkan orbit dari sebuah monomial di bawah Templat:Math. Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup Templat:Math dari Templat:Math dari urutan 4, terdiri dari Templat:Math, Templat:Math, Templat:Math dan identitas (untuk notasinya, lihat grup permutasi). Monomial tersebut Templat:Math memberikan invarian Templat:Math. Hal ini bukan invarian penyelesai untuk Templat:Math, sebagai invarian oleh Templat:Math, pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral Templat:Math, dan digunakan untuk mendefinisikan resolusi kubik dari persamaan kuartik.

Jika Templat:Mvar adalah invarian penyelesaian untuk grup Templat:Mvar dari indeks Templat:Mvar, maka orbit di bawah Templat:Math memiliki urutan Templat:Mvar. Maka Templat:Math, ..., Templat:Math adalah elemen orbit. Maka polinomial

$R_G=\prod _{i=1}^m(Y-P_i)$

adalah invarian di bawah Templat:Math. Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial Templat:Math invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan, Templat:Math adalah polinomial irreduksi Templat:Mvar koefisien polinomial Templat:Mvar. Memiliki invarian resolvent sebagai akar, ini disebut resolusi (terkadang persamaan resolusi).

Pertimbangkan sekarang sebagai polinomial yang tidak dapat disederhanakan

$f(X)=X^n+\sum _{i=1}^n{a}_i{X}^{n-i}=\prod _{i=1}^n(X-x_i),$

dengan koefisien di bidang tertentu Templat:Mvar (biasanya bidang rasional) dan akar Templat:Math dalam ekstensi bidang tertutup aljabar. Mengganti Templat:Math oleh Templat:Math dan koefisien Templat:Mvar oleh Templat:Mvar yang mendahului, polinomial $R_G^{(f)}(Y)$, juga disebut resolusi atau resolusi khusus dalam kasus ambiguitas). Jika grup Galois dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar, maka spesialisasi dari resolusi invarian adalah invarian oleh Templat:Mvar dan dengan akar dari $R_G^{(f)}(Y)$ yang dimiliki Templat:Mvar (rasional pada Templat:Mvar). Sebaliknya jika $R_G^{(f)}(Y)$ adalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar.

Beberapa varian dalam istilah tersebut.

• Bergantung pada penulis atau pada konteks, resolusi merujuk ke resolusi invarian dari resolusi persamaan.
• Resolusi Galois adalah pemecah sehingga invarian penentu linear di akarnya.
• Templat:Vanchor mengacu pada polinomial linear

$\sum _{i=0}^{n-1}{X}_i{\omega }^i$

dimana $\omega$ adalah akar satuan ke-n primitif. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.

• Resolusi relatif didefinisikan sebagai resolusi, tetapi elemen dari subgrup tertentu Templat:Mvar dari Templat:Math, memiliki sifat, jika resolusi relatif untuk subgrup Templat:Mvar dari Templat:Mvar akar sederhana rasional dan grup Galois dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar, maka grup Galois dari Templat:Mvar ke Templat:Mvar. Dalam konteks ini, resolusi biasa disebut resolusi mutlak.

Metode resolusi

Grup Galois dari polinomial derajat $n$ adalah $S_n$ atau subgrup. Jika polinomial dapat dipisahkan dan tidak dapat direduksi, maka gugus Galois yang bersesuaian adalah subgrup transitif.

Subgrup transitif dari $S_n$ membentuk grafik berarah: satu grup dapat menjadi subgrup dari beberapa grup. Satu resolusi dapat mengetahui apakah grup Galois dari sebuah polinomial adalah subgrup (tidak harus tepat) dari grup yang diberikan. Metode resolusi hanyalah cara sistematis untuk memeriksa grup satu per satu hingga hanya satu grup yang memungkinkan. Ini tidak berarti bahwa setiap grup harus diperiksa: setiap resolvent dapat membatalkan banyak grup yang memungkinkan. Misalnya, untuk polinomial derajat lima tidak diperlukan resolvent $D_5$: resolusi untuk $A_5$ dan $M_{20}$ memberikan informasi yang diinginkan.

Salah satu caranya adalah mulai dari subgrup maksimal (transitif) hingga subgrup ditemukan dan kemudian dilanjutkan dengan subgrup maksimalnya.

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal