Sistem koordinat bola

Sistem koordinat bola Templat:Math digunakan dalam bidang fisika (ISO 80000-2:2019): Jarak radial Templat:Mvar, sudut Templat:Mvar (theta), dan sudut azimuthal Templat:Mvar (phi). Simbol Templat:Mvar (rho) Templat:Mvar.

Spherical coordinates Templat:Math as often used in mathematics: radial distance Templat:Mvar, azimuthal angle Templat:Mvar, and polar angle Templat:Mvar. The meanings of Templat:Mvar and Templat:Mvar have been swapped compared to the physics convention.

A globe showing the radial distance, polar angle and azimuthal angle of a point Templat:Mvar with respect to a unit sphere, in the mathematics convention. In this image, Templat:Mvar equals 4/6, Templat:Mvar equals 90°, and Templat:Mvar equals 30°.

Dalam matematika, Sistem Koordinat Bola adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang tiga dimensi di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari jarak radial titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika sudut azimut tersebut dari hasil proyeksi ortogonal pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.

Persamaan pada Sistem Koordinat Bola

Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Templat:Lihat pula Dalam geometri analitik , bola dengan pusat Templat:Math dan jari jari Templat:Mvar adalah lokus titik Templat:Math sedemikian rupa sehingga

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=r^2.$

biarkan Templat:Mvar bilangan real dengan sebuah Templat:Math dan put

$x_0=\frac{-b}{a},y_0=\frac{-c}{a},z_0=\frac{-d}{a},\rho =\frac{b^2+c^2+d^2-ae}{a^2}.$

Lalu persamaan

$f(x,y,z)=a(x^2+y^2+z^2)+2(bx+cy+dz)+e=0$

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika $\rho <0$ dan disebut persamaan bola imajiner. Jika $\rho =0$, satu-satunya solusi $f(x,y,z)=0$ adalah intinya $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini $\rho >0$, $f(x,y,z)=0$ adalah persamaan bola yang pusatnya adalah $P_0$ dan yang radiusnya adalah $\sqrt{\rho }$.

Jika Templat:Mvar dalam persamaan di atas adalah nol maka Templat:Math adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari $r>0$ dan pusat $(x_0,y_0,z_0)$ dapat diparameterisasi via

$\begin{array}{cc}x& =x_0+r\sin \theta \cos \phi \\ y& =y_0+r\sin \theta \sin \phi (0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi )\\ z& =z_0+r\cos \theta \end{array}$

Keliling $\theta$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling $\phi$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

$xdx+ydy+zdz=0.$

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,Templat:Math dan Templat:Math, yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis elips khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.

Konveksi utama

Konveksi utama

Koordinat	arah geografis lokal yang sesuai Templat:Math	Bagian ( Bahasa Inggris )
Templat:Math	Templat:Math	right
Templat:Math	Templat:Math	right
Templat:Math	Templat:Math	left

Dalam Koordinat Kartesius

Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):

• Templat:Math adalah jari-jari.
• Templat:Math adalah kemiringan.
• Templat:Math adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.

Anda dapat memporoleh dari hasil koordinat kartesius pada nilai Templat:Math dengan rumusnya adalah:

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \phi & =\arctan \frac{y}{x},\\ \theta & =\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\arccos \frac{z}{r}=\arctan \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}.\end{array}$

Garis singgung iversi dilambangkan dengan nilai Templat:Math harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai Templat:Math.

Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:

• Templat:Mvar jari jari.
• Templat:Mvar inklinasi.
• Templat:Mvar azimut.

darimana Templat:Math, Templat:Math, Templat:Math adalah ...,oleh

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \phi ,\\ y& =r\sin \theta \sin \phi ,\\ z& =r\cos \theta .\end{array}$

Sistem Koordinat Tabung

---

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{{\rho }^2+z^2},\\ \theta & =\arctan \frac{\rho }{z}=\arccos \frac{z}{\sqrt{{\rho }^2+z^2}},\\ \phi & =\phi .\end{array}$

---

$\begin{array}{cc}\rho & =r\sin \theta ,\\ \phi & =\phi ,\\ z& =r\cos \theta .\end{array}$

---

Koordinat bola yang dimodifikasi

Kemungkinan cara modifikasi pada elipsoid adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.

Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level

$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=d.$

Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai Templat:Math oleh karena itu rumusnya adalah:

$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{\sqrt{a}}r\sin \theta \cos \phi ,\\ y& =\frac{1}{\sqrt{b}}r\sin \theta \sin \phi ,\\ z& =\frac{1}{\sqrt{c}}r\cos \theta ,\\ r& =a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2.\end{array}$

Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:

$\mathrm{d}V=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}\right|=\frac{1}{\sqrt{abc}}{r}^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =\frac{1}{\sqrt{abc}}{r}^2\mathrm{d}r\mathrm{d}\mathrm{\Omega }.$

Faktor akar kuadrat yang berasal dari properti determinan yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:

$\left|\begin{array}{ccc}ka& b& c\\ kd& e& f\\ kg& h& i\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|.$

Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola

- Dalam pengembangan -

Jarak dalam Koordinat Bulat

- Dalam pengembangan -

Kinematika

- Dalam pengembangan -