Trigonometri bola

Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk dari perpotongan tiga "lingkaran besar" dalam sebuah bola, seperti segitiga ABC dalam gambar. Trigonometri bola mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi dan sudut-sudut segitiga tersebut.

Trigonometri bola (Templat:Lang-en) adalah cabang geometri yang mempelajari hubungan antara fungsi trigonometri dengan sisi-sisi serta sudut-sudut yang dibentuk oleh segitiga bola. Segitiga bola adalah segitiga yang dibentuk oleh tiga lingkaran besar (lingkaran yang pusatnya sama dengan pusat bola) pada permukaan bola.

Rumus-rumus dalam trigonometri bola

Di antara rumus yang berlaku dalam sebuah segitiga bola dengan tiga sudut $A$, $B$, $C$ dan tiga sisi $a$, $b$, $c$ adalah hukum kosinus, yaitu:

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,$

$\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,$

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,$

hukum sinus, yaitu:

$\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c},$

dan hukum kotangen, yaitu:

$\begin{array}{cc}\text{(CT1)}& \cos b\cos C=\cot a\sin b-\cot A\sin C,\\ \text{(CT2)}& \cos b\cos A=\cot c\sin b-\cot C\sin A,\\ \text{(CT3)}& \cos c\cos A=\cot b\sin c-\cot B\sin A,\\ \text{(CT4)}& \cos c\cos B=\cot a\sin c-\cot A\sin B,\\ \text{(CT5)}& \cos a\cos B=\cot c\sin a-\cot C\sin B,\\ \text{(CT6)}& \cos a\cos C=\cot b\sin a-\cot B\sin C.\end{array}$

Sisi-sisi sebuah segitiga bola dapat diambil sinus dan kosinusnya, karena sisi-sisi tersebut sebenarnya adalah busur dari lingkaran besar sehingga dapat dinyatakan dalam satuan sudut seperti radian atau derajat.

Penerapan

Hisab arah kiblat

Templat:Seealso Rumus trigonometri bola dapat diterapkan untuk menghitung (hisab) arah kiblat dari koordinat tertentu. Untuk menghitungnya, digunakan segitiga bola $\mathrm{△}UTQ$ terdiri dari tiga titik: lokasi tempat tersebut $T$, lokasi kiblat $Q$, dan kutub utara adalah $U$. Arah kiblat adalah arah $TQ$, atau searah lingkaran besar yang melewati $T$ dan $Q$. Arah ini dapat juga dinyatakan sebagai sudut terhadap arah utara yaitu $\mathrm{\angle }UTQ$ atau $\mathrm{\angle }q$. Arah ini dapat dihitung sebagai fungsi dari posisi lintang setempat $L_T$, posisi lintang kiblat $L_Q$, serta selisih bujur antara lokasi setempat dengan lokasi kiblat$\mathrm{\Delta }B$.Templat:Sfn

Dari hukum kotangen trigonometri bolaTemplat:Sfn dapat diturunkan:

$\cot q=\frac{\sin L_T\cos \mathrm{\Delta }B-\cos L_T\tan L_Q}{\sin \mathrm{\Delta }B}$, atau
$q={\cot }^{-1}\frac{\sin L_T\cos \mathrm{\Delta }B-\cos L_T\tan L_Q}{\sin \mathrm{\Delta }B}$Templat:Sfn

Arah kiblat dari suatu lokasi dapat dihitung dengan trigonometri bola. Ilustrasi penentuan arah kiblat dari Yogyakarta, Indonesia dengan metode ini.

Daftar pustaka

• Templat:Encyclopaedia of Islam, New Edition
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book