Teorema Schinzel

Dalam geometri bilangan, teorema Schinzel berbunyi bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif yang diketahui $n$, terdapat sebuah lingkaran di dalam ruang Euklides yang melalui tepatnya $n$ titik bilangan bulat. Teorema ini dibuktikan oleh dan dinamai dari Andrzej Schinzel.Templat:R

Pembuktian

Lingkaran yang melalui tepatnya empat titik melalui konstruksi Schinzel

Schinzel membuktikan teorema ini melalui konstruksi berikut. Jika $n$ adalah bilangan genap, dengan $n=2k$, maka lingkaran tersebut melalui $n$ titik menurut persamaan berikut:Templat:R $${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}{5}^{k-1}.$$ Lingkaran ini memiliki jari-jari $5^{(k-1)/2}/2$, dan pusatnya terletak di titik $(\frac{1}{2},0)$. Sebagai contoh, pada ilustrasi gambar menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari $\sqrt{5}/2$ yang melalui empat titik bilangan bulat.

Mengalikan kedua ruas persamaan Schinzel oleh empat, menghasilkan persamaan yang ekuivalen dalam bentuk bilangan bulat, $${(2x-1)}^2+(2y{)}^2=5^{k-1}.$$ Ini menuliskan $5^{k-1}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dengan bilangan yang pertama adalah ganjil dan bilangan kedua adalah genap. Tepatnya, ada $4k$ cara untuk menulis $5^{k-1}$ sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dan sebagiannya ditulis sesuai urutan (ganjil, genap) berdasarkan simetri. Sebagai contoh, $5^1=(\pm 1{)}^2+(\pm 2{)}^2$, sehingga didapatkan $2x-1=1$ atau $2x-1=-1$, dan $2y=2$ atau $2y=-2$, yang menghasilkan empat titik seperti pada ilustrasi gambar.

Di sisi lain, jika $n$ adalah ganjil, dengan $n=2k+1$, maka lingkaran tersebut, menurut persamaan, melalui tepatnya $n$ titik:Templat:R $${(x-\frac{1}{3})}^2+y^2=\frac{1}{9}{5}^{2k}.$$ Lingkaran ini memiliki jari-jari $5^k/3$, dan pusatnya terletak pada titik $(\frac{1}{3},0)$.