Teorema Rolle

Dalam kalkulus, teorema Rolle pada dasarnya menyatakan fungsi terdiferensialkan dan kontinu, yang memiliki nilai sama pada dua titik, mestilah memiliki titik stasioner yang terletak di antara kedua titik tersebut. Pada titik stasioner ini, gradien garis singgung terhadap fungsi tersebut sama dengan nol.

Versi standar

Bila sebuah fungsi riil Templat:Math kontinu pada selang tertutup Templat:Math, terdiferensialkan pada selang terbuka Templat:Math, dan Templat:Math, maka ada bilangan Templat:Math dalam selang terbuka Templat:Math sedemikian sehingga

$f^{\prime }(c)=0.$

Versi teorema Rolle ini digunakan untuk membuktikan teorema nilai purata, yang merupakan kasus umum dari teorema Rolle.

Perumuman

Contoh berikut mengilustrasikan perumuman dari teorema Rolle: Misalkan terdapat fungsi kontinu bilangan riil Templat:Math di selang tertutup Templat:Math dengan Templat:Math. Bila, untuk setiap Templat:Math di selang terbuka Templat:Math, dengan limit kanan$$f^{\prime }(x+):=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$dan limit kiri$$f^{\prime }(x-):=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ada di suatu garis bilangan riil yang diperluas $[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, maka ada suatu bilangan Templat:Math pada selang terbuka Templat:Math sehingga salah satu dari dua limit $f^{\prime }(c+)$ dan $f^{\prime }(c-)$lebih besar dari sama dengan 0 dan yang lainnya lebih kecil dari sama dengan 0 (di garis bilangan riil yang diperluas). Bila limit kiri dan kanan sama untuk setiap Templat:Math, maka limit ini sama pada khususnya untuk Templat:Math. Jadi turunan Templat:Math ada pada Templat:Math dan sama dengan nol.

Bila Templat:Math adalah fungsi cekung atau cembung, maka turunan kiri atau kanan ada di setiap titik dalam, sehingga kedua limit di atas ada dan merupakan bilangan riil. Versi teorema Rolle yang diperumum ini cukup untuk membuktikan kecekungan fungsi bila salah satu turunan sepihak menaik secara monoton:$$f^{\prime }(x-)\le f^{\prime }(x+)\le f^{\prime }(y-)$$dengan $x<y$.

Pembuktian

Tujuan pembuktian ini bahwa bila Templat:Math, maka Templat:Math harus mencapai nilai maksimum atau minimum di suatu titik di antara Templat:Math dan Templat:Math, katakanlah titik tersebut diberi lambang Templat:Math. Fungsi tersebut juga harus berubah dari fungsi menaik hingga menurun (atau sebaliknya) di Templat:Math. Secara khusus, bila turunannya ada, maka nilainya harus nol di Templat:Math.

Berdasarkan asumsi, diketahui bahwa Templat:Math kontinu di Templat:Math, dan menurut teorema nilai ekstrem, Templat:Math mencapai nilai maksimum maupun minimumnya di Templat:Math. Bila keduanya tercapai di titik batas Templat:Math, maka Templat:Math adalah fungsi konstan di Templat:Math, dan turunannya akan sama dengan nol pada setiap titik di Templat:Math. Misalkan bila nilai maksimum diperoleh di titik dalam Templat:Math di selang Templat:Math (argumen untuk nilai minimumnya mirip, seperti pada $-f$), maka dapat diperiksa limit kanan dan kiri. Untuk suatu Templat:Math bilangan real sehingga Templat:Math ada di Templat:Math, nilai Templat:Math lebih kecil atau sama dengan Templat:Math, sebab Templat:Math mencapai nilai maksimumnya di Templat:Math. Karena itu, untuk setiap Templat:Math,$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0,$$dan karena itu,$$f^{\prime }(c+):=\underset{h\searrow 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0,$$dengan limit tersebut ada berdasarkan asumsi, yang bisa saja menuju ke negatif tak terhingga. Hal ini juga berlaku sama untuk sebaliknya, yakni: untuk setiap Templat:Math, tanda pertidaksamaan tersebut berbalik arah karena penyebutnya bernilai negatif. Dengan demikian, didapatkan bahwa$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0,$$dan karena itu$$f^{\prime }(c-):=\underset{h\nearrow 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0,$$dengan limit tersebut bisa saja menuju ke positif tak terhingga. Setelah mendapatkan bahwa limit kanan dan kiri tersebut sama, terutama bila Templat:Math terdiferensialkan, maka turunan dari Templat:Math di Templat:Math haruslah nol.

Contoh

Contoh pertama

Setengah lingkaran dengan radius Templat:Mvar.

Untuk jari-jari Templat:Math, misalkan terdapat fungsi$$f(x)=\sqrt{r^2-x^2},x\in [-r,r].$$Grafik fungsi tersebut menggambarkan setengah lingkaran atas yang berpusat pada titik asal. Fungsi ini kontinu di selang tertutup Templat:Math dan terdiferensialkan dalam selang terbuka Templat:Math, tetapi tidak terdiferensialkan di titik akhir Templat:Math dan Templat:Mvar. Karena Templat:Math, maka berlaku teorema Rolle, dan demikian terdapat suatu titik dengan turunan dari Templat:Mvar sama dengan nol. Perhatikan bahwa teorema tersebut berlaku, dan bahkan ketika fungsi tidak terdiferensialkan di titik akhir, karena hanya memerlukan fungsi tersebut menjadi terdiferensialkan dalam selang terbuka.

Contoh kedua

Grafik fungsi nilai mutlak.

Jika keterdiferensialan itu gagal di titik dalam selang, dapat disimpulkan bahwa teorema Rolle tidak dapat berlaku. Misalkan suatu fungsi nilai mutlak$$f(x)=|x|,x\in [-1,1],$$maka Templat:Math. Akan tetapi, tidak ada nilai Templat:Mvar di antara −1 dan 1 pada nilai Templat:Math yang sama dengan nol. Itu karena fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di nilai Templat:Math, walaupun fungsi tersebut kontinu. Perhatikan bahwa turunan dari Templat:Mvar mengubah tandanya di Templat:Math, tetapi tanpa mencapai nilai 0, dan karena itu teorema Rolle tidak dapat diterapkan pada fungsi ini, sebab tidak memenuhi syarat bahwa fungsi harus terdiferensialkan untuk setiap nilai Templat:Mvar di selang terbuka. Namun, ketika syarat keterdiferensialan dihilangkan dari teorema Rolle, fungsi Templat:Mvar akan tetap memiliki titik kritis di selang terbuka Templat:Math, tetapi sayangnya hal tersebut tidak dapat menghasilkan garis singgung yang horizontal.

Perumuman untuk turunan dengan tingkat yang lebih tinggi

Teorema Rolle dapat diperumum dengan mensyaratkan bahwa Templat:Mvar memiliki lebih banyak titik dengan nilai yang sama dan keteraturan yang lebih besar. Secara khusus, misalkan bahwa

• fungsi Templat:Mvar terdiferensialkan secara kontinu sebanyak Templat:Math kali di selang tertutup Templat:Math, dan terdapat turunan ke-Templat:Mvar di selang terbuka Templat:Math; serta
• terdapat Templat:Mvar selang yang dinyatakan dengan Templat:Math di Templat:Math sehingga Templat:Math untuk setiap nilai Templat:Mvar yang berawal dari 1 hingga nilai Templat:Mvar.

Maka, terdapat suatu bilangan Templat:Mvar di Templat:Math turunan ke-Templat:Mvar dari Templat:Mvar dengan nilai Templat:Mvar sama dengan nol.

Kurva betwarna merah merupakan grafik fungsi dengan tiga akar di selang Templat:Math. Jadi turunan keduanya, yang digambarkan dengan garis berwarna hijau, juga memiliki akar di selang yang sama.

Pembuktian

Perumuman ini dibuktikan melalui induksi. Misalkan Templat:Math, maka akan memperlihatkan versi standar teorema Rolle. Untuk Templat:Math, anggap bahwa perumuman tersebut benar untuk Templat:Math. Agar ingin membuktikannya untuk Templat:Mvar, asumsi fungsi Templat:Mvar memenuhi hipotesis teorema. Berdasarkan versi standar, untuk setiap bilangan bulat Templat:Mvar yang berawal dari 1 ke Templat:Mvar, terdapat suatu Templat:Mvar di selang terbuka Templat:Math sehingga Templat:Math. Oleh karena itu, turunan pertama memenuhi asumsi di Templat:Math selang tertutup Templat:Math. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hipotesis melalui induksi, terdapat suatu Templat:Mvar sehingga turunan ke-Templat:Math dari Templat:Math di Templat:Mvar sama dengan nol.

Pranala luar

• Templat:EnTeorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-rata pada cut-the-knot