Segiempat garis singgung

Dalam geometri Euklides, segiempat garis singgung adalah segiempat yang bersifat cembung dengan keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaran, dan lingkaran itu merupakan lingkaran dalam.

Ciri-ciri

Menurut teorema Pitot, dua pasangan sisi yang berhadapan di sebuah segiempat garis singgung itu sama panjang, sehingga jumlah darinya sama dengan semiperimeter dari segiempat $a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} .$

Sebaliknya, jumlah panjang sisi $a + c = b + d$ di sebuah segiempat cembung harus tangensial.^[1]

Luas

Luas tanpa menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dirumuskan sebagai $r \cdot s,$ dengan $s$ adalah semiperimeter dan $r$ adalah jari-jari lingkaran dalam. Rumus lainnya untuk luas dari segiempat adalahTemplat:Sfn $\frac{1}{2} \sqrt{p^{2} q^{2} - (a c - b d)^{2}},$ dengan $p$ dan $q$ adalah garis diagonal, serta $a, b, c, d$ adalah sisi-sisi dari segiempat garis singgung.

Luas dari segiempat garis singgung juga dapat dinyatakan hanya dengan diketahui keempat panjang garis singgung $e, f, g, h$ Templat:Sfn $\sqrt{(e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f)} .$

Luas dengan menggunakan trigonometri

Luas dari segiempat garis singgung dapat diketahui dengan menggunakan panjang sisi $a, b, c, d$ beserta dua buah sudut hadapan^[2] $\sqrt{a b c d} \sin \frac{A + C}{2} = \sqrt{a b c d} \sin \frac{B + D}{2} .$

Untuk diketahui panjang sisinya, luasnya akan maksimum ketika segiempat adalah siklik dan bicentric. Oleh karena itu, luas dari segiempat garis singgung adalah $\sqrt{a b c d}$ sebab sudut hadapannya adalah suplementer. Rumus ini dapat dibuktikan dengan cara lain menggunakan kalkulus.Templat:Sfn

Rumus lain untuk luas dari segiempat garis singgung $A B C D$ yang melibatkan dua sudut hadapan adalahTemplat:Sfn $(I A \cdot I C + I B \cdot I D) \sin \frac{A + C}{2}$ dengan $I$ adalah pusat lingkaran dalam.

Terlebih lagi, luasnya dapat dinyatakan menggunakan dua sisi yang berdampingan dan dua sudut hadapan sebagaiTemplat:Sfn $a b \sin \frac{B}{2} \csc \frac{D}{2} \sin \frac{B + D}{2} .$