Pusat kongruensi Yff

Dalam geometri, pusat kongruensi Yff (Templat:Lang-en) merupakan sebuah titik khusus yang dikaitkan dengan sebuah segitiga. Titik khusus tersebut merupakan sebuah titik pusat di segitiga. Peter Yff memulai kajian pusat segitiga ini pada tahun 1987.

Penyama kaki

Segitiga pusat Yff dari $ABC$

Penyama kaki (Templat:Lang-en) sudut

$A$

dalam segitiga

$ABC$

merupakan suatu garis yang memotong titik

$P_1$

dan

$Q_1$

, dengan

$P_1$

terletak di

$AB$

dan

$Q_1$

terletak di

$AC$

, sehingga segitiga

$A{P}_1{Q}_1$

adalah segitiga sama kaki. Penyama kaki sudut

$A$

merupakan garis yang tegak lurus dengan garis bagi sudut

$A$

. Penyama kaki ini ditemukan oleh Peter Yff pada tahun 1963.

Segitiga pusat Yff

Misalkan $ABC$ menyatakan sebarang segitiga. Misalkan pula $P_1{Q}_1$ menyatakan penyama kaki sudut $A$, $P_2{Q}_2$ menyatakan penyama kaki sudut $B$, dan $P_3{Q}_3$ menyatakan penyama kaki sudut $C$. Misalkan $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ menyatakan segitiga yang dibentuk oleh tiga penyama kaki. Empat segitiga $A^{\prime }{P}_2{Q}_3$, $Q_1{B}^{\prime }{P}_3$, $P_1{Q}_2{C}^{\prime }$, dan $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ selalu sebangun

Terdapat sebuah himpunan tunggal dari tiga penyama kaki $P_1{Q}_1$, $P_2{Q}_2$, $P_3{Q}_3$ sehingga empat segitiga $A^{\prime }{P}_2{Q}_3$, $Q_1{B}^{\prime }{P}_3$, $P_1{Q}_2{C}^{\prime }$, dan $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ adalah kongruen. Dalam kasus istimewa ini, segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ yang dibentuk oleh tiga penyama kaki disebut segitiga pusat Yff dari segitiga $ABC$.

Lingkaran luar dari segitiga pusat Yff disebut lingkaran pusat Yff dari segitiga.

Pusat kongruensi Yff

Animasi memperlihatkan penyusutan secara kontinu, yang berawal dari segitiga pusat Yff hingga ke pusat kongruensi Yff. Animasi tersebut juga memperlihatkan segitiga pusat Yff yang diperluas secara kontinu sampai ketiga segitiga luar mereduksi ke titik di sisi segitiga.

Misalkan $ABC$ menyatakan sebarang segitiga. Misalkan $P_1{Q}_1$, $P_2{Q}_2$, $P_3{Q}_3$ menyatakan penyama kaki dari sudut $A$, $B$, $C$ sehingga segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ yang dibentuk olehnya adalah segitiga pusat Yff dari segitiga $ABC$. Ketiga penyama kaki $P_1{Q}_1$, $P_2{Q}_2$, $P_3{Q}_3$ sejajar dan digeser secara kontinu, sehingga akan mengakibatkan ketiga segitiga $A^{\prime }{P}_2{Q}_3$, $Q_1{B}^{\prime }{P}_3$, $P_1{Q}_2{C}^{\prime }$ selalu kongruen dengan satu sama lain, sampai segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dibentuk oleh perpotongan dari penyama kaki yang mereduksi ke sebuah titik. Titik di segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ yang direduksi disebut pusat kongruensi Yff segitiga $ABC$.

Sifat-sifat

Sebarang segitiga $ABC$ merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari $ABC$.

• Pusat kongruensi Yff mempunyai koordinat trilinear, yaitu $$(\sec \left(\frac{A}{2}\right),\sec \left(\frac{B}{2}\right),\sec \left(\frac{C}{2}\right))$$
• Sebarang segitiga $ABC$ merupakan segitiga yang dibentuk oleh garis, dan garis tersebut secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luar dari segitiga pusat Yff dari $ABC$.
• Misalkan $I$ menyatakan lingkaran dalam dari $ABC$. Misalkan $D$ menyatakan sebuah titik di sisi $BC$ sehingga $\mathrm{\angle }BID=\mathrm{\angle }DIC$, $E$ menyatakan sebuah titik yang berada di sisi $CA$ sehingga $\mathrm{\angle }CIE=\mathrm{\angle }EIA$, dan $F$ menyatakan sebuah titik yang berada di sisi $AB$ sehingga $\mathrm{\angle }AIF=\mathrm{\angle }FIB$. Maka garis $AD$, $BE$, dan $CF$ setumpu di pusat kongruensi Yff. Dengan adanya fakta ini, akan memberikan konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff.
• Terdapat sebuah komputer yang membantu pencarian sifat-sifat dari segitiga pusat Yff, dan pencarian tersebut memberikan beberapa hasil yang menarik. Hasil tersebut mempunyai kaitan dengan sifat-sifat dari segitiga pusat Yff.

Perumuman

Perumuman pusat kongruensi Yff.

Konstruksi geometris untuk menemukan pusat kongruensi Yff memiliki perumuman yang menarik. Perumuman itu dimulai dengan sebarang titik

$P$

dalam bidang segitiga

$ABC$

. Kemudian, ambil titik

$D$

di sisi

$BC$

,

$E$

di

$CA$

, dan

$F$

di sisi

$AB$

, sehingga

$\mathrm{\angle }BPD=\mathrm{\angle }DPC$

,

$\mathrm{\angle }CPE=\mathrm{\angle }EPA$

, dan

$\mathrm{\angle }APF=\mathrm{\angle }FPB$

. Dengan demikian, perumuman tersebut menegaskan bahwa garis

$AD$

,

$BE$

,

$CF$

setumpu.

Lihat pula

• Segitiga pusat
• Titik penyama kaki kongruen