Polinomial simetri elementer

Dalam matematika, khususnya dalam aljabar komutatif, polinomial simetris elementer adalah jenis blok penyusun dasar untuk polinomial simetris, dalam arti polinomial simetris dapat diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Artinya, semua polinomial simetris Templat:Math dari ekspresi penambahan dan perkalian konstanta dan polinomial simetris dasar. Polinomial simetris dasar derajat Templat:Math dalam variabel Templat:Math untuk bilangan bulat nonnegatif Templat:Math, dan dibentuk dengan menjumlahkan semua produk berbeda dari variabel berbeda Templat:Math.

Definisi

Polinomial simetris dasar dalam variabel Templat:Math Templat:Math, ditulis sebagai Templat:Math untuk Templat:Math, didefinisikan oleh

$\begin{array}{cc}{e}_0(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =1,\\ e_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j\le n}{X}_j,\\ e_2(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_k,\\ e_3(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k<l\le n}{X}_j{X}_k{X}_l,\\ \end{array}$

dan diakhiri dengan

$e_n(X_1,X_2,\dots ,X_n)=X_1{X}_2\cdots X_n.$

Maka, untuk Templat:Math yaitu

$e_k(X_1,\dots ,X_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{X}_{j_1}\cdots X_{j_k},$

maka Templat:Math jika Templat:Math.

Maka, bilangan bulat non-negatif Templat:Mvar kurang dari atau sama dengan Templat:Mvar, satu polinomial simetris dasar dengan derajat Templat:Mvar dalam variabel Templat:Mvar. Untuk membentuk satuan derajat Templat:Mvar, kita ambil jumlah dari semua hasil kali dari Templat:Mvar himpunan bagian dari Templat:Mvar. (Sebaliknya, jika seseorang melakukan operasi yang sama menggunakan variabel multihimpunan, yaitu variabel dengan pengulangan di polinomial simetris homogen kompleks.)

Partisi bilangan bulat (yaitu, urutan bilangan bulat positif tidak hingga) Templat:Math, satu mendefinisikan polinomial simetris Templat:Math, juga disebut polinomial simetris elementer, oleh

$e_{\lambda }(X_1,\dots ,X_n)=e_{{\lambda }_1}(X_1,\dots ,X_n)\cdot e_{{\lambda }_2}(X_1,\dots ,X_n)\cdots e_{{\lambda }_m}(X_1,\dots ,X_n)$.

Terkadang notasi Templat:Math digunakan sebagai pengganti Templat:Math.

Contoh

Berikut daftar polinomial simetris dasar Templat:Math untuk empat nilai positif pertama dari Templat:Math. (Dalam, Templat:Math juga salah satu polinomial.)

Untuk Templat:Math:

$e_1(X_1)=X_1.$

Untuk Templat:Math:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2)& =X_1+X_2,\\ e_2(X_1,X_2)& =X_1{X}_2.\\ \end{array}$

Untuk Templat:Math:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3)& =X_1+X_2+X_3,\\ e_2(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_2{X}_3,\\ e_3(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2{X}_3.\\ \end{array}$

Untuk Templat:Math:

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1+X_2+X_3+X_4,\\ e_2(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_1{X}_4+X_2{X}_3+X_2{X}_4+X_3{X}_4,\\ e_3(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3+X_1{X}_2{X}_4+X_1{X}_3{X}_4+X_2{X}_3{X}_4,\\ e_4(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3{X}_4.\\ \end{array}$

Sifat

Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas faktorisasi linear dari polinomial monik: dari identitas

$\prod _{j=1}^n(\lambda -X_j)={\lambda }^n-e_1(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-1}+e_2(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{e}_n(X_1,\dots ,X_n).$

Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel Templat:Math, monik polinomial univariat (dengan variabel Templat:Math) nilai yang diganti Templat:Math dan koefisien hingga adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut rumus Vieta.

Polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah nilai eigen dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu invarian. Secara khusus, jejak (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari Templat:Math, dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, determinan adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai Templat:Math. Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel Templat:Math menghasilkan gelanggang dari polinomial simetris dalam Templat:Math. Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral Templat:Math. (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari teori invarian. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat jumlah pangkat polinomial simetris dan polinomial simetris homogen kompleks.

Teorema dasar dari polinomial simetris

Untuk sembarang komutatif gelanggang Templat:Math, gelanggang polinomial simetris dalam variabel Templat:Math dengan koefisien Templat:Math dari Templat:Math. Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer n Templat:Math untuk Templat:Math. (Note that Templat:Math tidak termasuk polinomial ini; karena Templat:Math, tidak dapat menjadi anggota himpunan sembarang elemen yang secara aljabar independen.)

Artinya polinomial simetris Templat:Math representasi

$P(X_1,\dots ,X_n)=Q(e_1(X_1,\dots ,X_n),\dots ,e_n(X_1,\dots ,X_n))$

untuk beberapa polinomial Templat:Math. Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa homomorfisme gelanggang dari Templat:Math ke Templat:Math for Templat:Math mendefinisikan isomorfisme antara Templat:Math and Templat:Math.

Sketsa bukti

Teorema dapat dibuktikan untuk polinomial homogen simetris dengan induksi matematika ganda sehubungan dengan jumlah variabel Templat:Math dan, untuk Templat:Math, sehubungan dengan derajat dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus Templat:Math hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk Templat:Math variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel Templat:Math dengan derajat Templat:Math. Setiap polinomial simetris homogen Templat:Math dalam Templat:Math dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen

$P(X_1,\dots ,X_n)=P_{\text{lanari}}(X_1,\dots ,X_n)+X_1\cdots X_n\cdot Q(X_1,\dots ,X_n).$

Di sini "bagian lacunary" Templat:Math didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di Templat:Math himpunan bagian dari variabel Templat:Math ke Templat:Math, yaitu, di mana setidaknya satu variabel Templat:Math ditemukan.

Karena Templat:Math simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel Templat:Math, yaitu, tidak menggunakan Templat:Math. Lebih tepatnya: Jika Templat:Math dan Templat:Math adalah dua polinomial simetris homogen di Templat:Math memiliki derajat, dan jika koefisien dari Templat:Math sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel Templat:Math sama dengan koefisien yang sesuai dari Templat:Math, maka Templat:Math dan Templat:Math memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel Templat:Math.)

Lihat pula

• Polinomial simetris
• Polinomial simetris homogen kompleks
• Polinomial Schur
• Identitas Newton
• Teorema Master MacMahon
• Fungsi simetris
• Teori representasi

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book