Polinomial Bernstein–Sato

Dalam matematika, polinomial Benstein–Sato adalah polinomial yang berkaitan dengan operator diferensial. Polinomial ini diperkenalkan oleh Templat:Harvs dan Templat:Harvs, Templat:Harvtxt. Polinomial ini juga dikenal sebagai fungsi-b, polinomial-b dan polinomial Bernstein, walaupun tidak terkait dengan polinomial Bernstein yang digunakan dalam teorema aproksimasi. Polinomial ini dapat diterapkan pada teori singularitas, teori monodromi, dan teori medan kuantum.

Definisi dan sifat-sifatnya

Definisi

Definisi dari polinomial Benstein–Sato mengatakan bahwa jika $f(x)$ adalah polinomial di setiap variabel, maka ada polinomial taknol $b(s)$ dan ada operator diferensial $P(s)$ dengan koefisien polinomial sehingga

$P(s)f(x{)}^{s+1}=b(s)f(x{)}^s.$

Sifat-sifat

Polinomial Bernstein-Sato adalah polinomial monik dengan derajat terkecil diantara setiap polinomial $b(s)$. Keberadaannya dapat diperlihatkan dengan menggunakan gagasan holonomik modul-D.

Penerapan

• Jika $f(x)$ adalah polinomial bukan negatif maka $f(x{)}^s$, maka definisi pada awalnya untuk $s$ dengan bagian bilangan real taknegatif, dapat dilanjutkan secara analitis menjadi fungsi nilai distribusi meromorfik dari $s$ dengan menggunakan persamaan fungsional berkali-kali.

$f(x{)}^s=\frac{1}{b(s)}P(s)f(x{)}^{s+1}.$

Fungsi ini dapat mempunyai kutub setiap kali $b(s+n)$ bernilai nol untuk $n$ bilangan bulat taknegatif.

• Jika $f(x)$ adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers $g$, yaitu distribusi; dengan kata lain, darab $fg=1$ merupakan distribusi. Jika $f(x)$ adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari perluasan Laurent dari $f(x{)}^s$ di $s=-1$. Untuk sebarang $f(x)$, cukup ambil $\overline{f}(x)$ yang dikalikan dengan invers dari $\overline{f}(x)f(x)$.
• Teorema Malgrange–Ehrenpreis mengatakan bahwa setiap operator diferensial dengan koefisien konstanta mempunyai fungsi Green. Dengan menggunakan transformasi Fourier, maka dapat dikatakan bahwa setiap polinomial memiliki inverse distribusional.
• Polinomial ini dipakai oleh Pavel Etingof, yang ia perlihatkan untuk mendefinisikan regularisasi dimensi dengan cermat, dalam kasus mengenai dimensi Euklides yang besar.
• Persamaan fungsional Bernstein–Sato digunakan dalam perhitungan dari beberapa jenis yang lebih kompleks pada integral tunggal. Biasanya ini terjadi dalam teori medan kuantum. Perhitungan tersebut dibutuhkan untuk mengukur nilai-nilai yang teliti dalam partikel fisika dasar, seperti yang dipraktikkan pada, sebagai contoh, CERN (lihat kutipan pada makalah Templat:Harv). Namun, kasus yang paling menarik memerlukan perumuman yang sederhana pada persamaan fungsional Bernstein–Sato ke perkalian dari dua polinomial, $(f_1(x){)}^{s_1}(f_2(x){)}^{s_2}$, dengan $x$ memiliki komponen skalar dari 2 hingga 6, dan pasangan dari polinomial memiliki urutan 2 dan 3. Sayangnya, penentuan Brute Force pada korespondensi operator diferensial $P(s_1,s_2)$ dan $b(s_1,s_2)$ untuk setiap kasus, terbukti sangat tidak praktis. Memikirkan cara untuk jalan pintas ledakan kombinatorial dari algoritma Brute Force akan sangat bernilai dalam penerapan tersebut,

Referensi

• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book (Princeton, NJ, 1996/1997)
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal