Pertidaksamaan

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Notasi	Arti	Contoh
<	lebih kecil kurang dari	2 < 3 x + 1 < 3
>	lebih besar lebih dari	3 > 2 3x + 1 > 5
≤	lebih kecil atau sama dengan batas dibawah maksimum maksimal sebanyaknya paling banyak tidak lebih dari sekurangnya	2 ≤ 3 x + 1 ≤ 3
≥	lebih besar atau sama dengan batas diatas minimum minimal sesedikitnya paling sedikit tidak kurang dari selebihnya	3 ≥ 2 3x + 1 ≥ 5
≠	tidak sama dengan	2 ≠ 3 x + 1 ≠ 3
a < x < b	diantara a dan b	2 < x < 5
a ≤ x < b	diantara a dan b bila ada a	2 ≤ x < 5
a < x ≤ b	diantara a dan b bila ada b	2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b	diantara a dan b bila ada a dan b	2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b	kurang dari a atau lebih dari b	x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b	maksimal a atau lebih dari b	x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b	kurang dari a atau minimal b	x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b	maksimal a atau minimal b	x ≤ 2 v x ≥ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $6x-7<5x+3$!

$6x-7<5x+3$

$6x-5x<3+7$

$x<10$

$HP=\{x|x<10,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $5-2x\ge 4x-1$!

$5-2x\ge 4x-1$

$-2x-4x\ge -1-5$

$-6x\ge -6$ (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

$x\le 1$

$HP=\{x|x\le 1,x\in R\}$

Pertidaksamaan Kuadrat

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $x^2-7x>10-4x$!

$x^2-7x>10-4x$

$x^2-3x-10>0$

dibuat harga nol

$x^2-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\vee x=5$

dibuat irisan

	-2		5
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$HP=\{x|x<-2\vee x>5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $2-x^2\le x-10$!

$2-x^2\le x-10$

$x^2+x-12\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

$x=-4\vee x=3$

dibuat irisan

	(-4)		(3)
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$HP=\{x|x\le -4\vee x\ge 3,x\in R\}$

Pertidaksamaan Irasional

Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:

$\sqrt{f(x)}<\sqrt{g(x)}$ atau $\sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)}$

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi $f(x)<g(x)$ atau $f(x)>g(x)$ serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4x}<\sqrt{10-x}$!

$\sqrt{x^2-4x}<\sqrt{10-x}$

$(\sqrt{x^2-4x}{)}^2<(\sqrt{10-x}{)}^2$

$x^2-4x<10-x$

$x^2-3x-10<0$

Irisan 1

$x^2-3x-10<0$

dibuat harga nol

$x^2-3x-10=0$

$(x+2)(x-5)=0$

$x=-2\vee x=5$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^2-4x\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\vee x=4$

Irisan 3

$10-x\ge 0$

$x\le 10$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		-2		(0)		(4)		5		(10)
pertama	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak
kedua	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya
ketiga	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak

$HP=\{x|-2<x\le 0\vee 4\le x<5,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4}\ge \sqrt{3x+50}$!

$\sqrt{x^2-4}\ge \sqrt{3x+50}$

$(\sqrt{x^2-4}{)}^2\ge (\sqrt{3x+50}{)}^2$

$x^2-4\ge 3x+50$

$x^2-3x-54\ge 0$

Irisan 1

$x^2-3x-54\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-3x-54=0$

$(x+6)(x-9)=0$

$x=-6\vee x=9$

karena ada syarat akar maka:

Irisan 2

$x^2-4\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-4=0$

$(x+2)(x-2)=0$

$x=-2\vee x=2$

Irisan 3

$3x+50\ge 0$

$x\ge -\frac{50}{3}$

gabungkan umum dan syarat

Irisan		(-50/3)		(-6)		(-2)		(2)		(9)
pertama	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya
kedua	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya
ketiga	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya

$HP=\{x|\frac{-50}{3}\le x\le -6\vee x\ge 9,x\in R\}$

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

$\frac{f(x)}{g(x)}*0$

di mana $f(x),g(x)$ adalah fungsi aljabar dengan $g(x)\ne 0$ dan $*$ merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $\frac{x-4}{x-3}<\frac{x+1}{x-2}$!

$\frac{x-4}{x-3}<\frac{x+1}{x-2}$

$\frac{x-4}{x-3}-\frac{x+1}{x-2}<0$

$\frac{(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}<0$

$\frac{(x^2-6x+8)-(x^2-2x-3)}{(x-3)(x-2)}<0$

$\frac{-4x+11}{(x-3)(x-2)}<0$

$-4x+11<0$

$x<\frac{11}{4}$

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

penyebut 2

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

dibuat irisan

	2		11/4		3
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	----

$HP=\{x|2<x<\frac{11}{4}\vee x>3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $\frac{x+6}{x+17}\ge \frac{1}{x-3}$!

$\frac{x+6}{x+17}\ge \frac{1}{x-3}$

$\frac{x+6}{x+17}-\frac{1}{x-3}\ge 0$

$\frac{(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}\ge 0$

$\frac{x^2+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}\ge 0$

$\frac{x^2+2x-35}{(x-3)(x-2)}\ge 0$

$x^2+2x-35\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2+2x-35=0$

$(x+7)(x-5)=0$

$x=-7\vee x=5$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$x+17\ne 0$

$x\ne -17$

penyebut 2

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

dibuat irisan

	-17		(-7)		3		(5)
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$HP=\{x|x<-17\vee -7\le x<3\vee x\ge 5,x\in R\}$

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

Model I

$|f(x)|<k$ atau $|f(x)|>k$

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

$|f(x)|=\{\begin{array}{cc}|f(x)|<k,& \text{maka penyelesaian}-k<f(x)<k\\ \\ |f(x)|>k,& \text{maka penyelesaian}f(x)<-k\vee f(x)>k\end{array}$

Model II

Jika $|f(x)|<|g(x)|$ atau $|f(x)|>|g(x)|$ maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi $[f(x){]}^2-[g(x){]}^2<0$ atau $[f(x){]}^2-[g(x){]}^2>0$.

Model III

Jika $a<|f(x)|<b$ maka menghasilkan $a<|f(x)|<b$ dan $-b<|f(x)|<-a$.

begitupula $g(x)<|f(x)|<h(x)$.

Model IV

Jika $|f(x)|$ terkurung maka f(x) menghasilkan $f(x)\ge 0$ serta -f(x) menghasilkan $f(x)<0$.

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|x^2+x|<12$!

$|x^2+x|<12$

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

$-12<x^2+x<12$

untuk $-12<x^2+x$

$-12<x^2+x$

$x^2+x+12>0$ definit +

untuk $x^2+x<12$

$x^2+x<12$

$x^2+x-12<0$

dibuat harga nol

$x^2+x-12=0$

$(x+4)(x-3)<0$

$x=-4\vee x=3$

dibuat irisan

	-4		3
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$-4<x<3$

$HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari persamaan $|x^2-4x-12|-|7-6x|\ge 5$!

terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

untuk | x^2 - 4x - 12 |

$|x^2-4x-12|=\{\begin{array}{cc}{x}^2-4x-12,& \text{maka penyelesaian}{x}^2-4x-12\ge 0\\ \\ -(x^2-4x-12),& \text{maka penyelesaian}{x}^2-4x-12<0\end{array}$

batasan f(x)

$x^2-4x-12\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\vee x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$x\le -2\vee x\ge 6$

batasan -f(x)

$x^2-4x-12<0$

dibuat harga nol

$x^2-4x-12=0$

$(x+2)(x-6)=0$

$x=-2\vee x=6$

dibuat irisan

	-2		6
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$-2<x<6$

untuk | 7 - 6x |

$|7-6x|=\{\begin{array}{cc}7-6x,& \text{maka penyelesaian}7-6x\ge 0\\ \\ -(7-6x),& \text{maka penyelesaian}7-6x<0\end{array}$

batasan f(x)

$7-6x\ge 0$

$x\le \frac{7}{6}$

batasan -f(x)

$7-6x<0$

$x>\frac{7}{6}$

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan		-2		7/6		6
pertama	x^2 - 4x - 12	Templat:N/a		Templat:N/a		Templat:N/a	x^2 - 4x - 12
kedua		Templat:N/a	-(x^2 - 4x - 12)	Templat:N/a	-(x^2 - 4x - 12)	Templat:N/a
ketiga	7 - 6x	Templat:N/a	7 - 6x	Templat:N/a		Templat:N/a
keempat		Templat:N/a		Templat:N/a	-(7 - 6x)	Templat:N/a	-(7 - 6x)

untuk x <= -2

$x^2-4x-12-(7-6x)\ge 5$

$x^2-4x-12-7+6x-5\ge 0$

$x^2+2x-24\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2+2x-24=0$

$(x+6)(x-4)=0$

$x=-6\vee x=4$

dibuat irisan

	(-6)		(-2)		(4)
Ya	Templat:N/a	Ya	Templat:N/a	Tidak	Templat:N/a	Tidak
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$x\le -6$

untuk -2 < x <= 7/6

$-(x^2-4x-12)-(7-6x)\ge 5$

$-x^2+4x+12-7+6x-5\ge 0$

$x^2-10x\le 0$

dibuat harga nol

$x^2-10x=0$

$x(x-10)=0$

$x=0\vee x=10$

dibuat irisan

	-2		(0)		(7/6)		(10)
Tidak	Templat:N/a	Ya	Templat:N/a	Ya	Templat:N/a	Tidak	Templat:N/a	Tidak
+++	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$0\le x\le \frac{7}{6}$

untuk 7/6 < x < 6

$-(x^2-4x-12)-(-(7-6x))\ge 5$

$-x^2+4x+12+7-6x-5\ge 0$

$x^2+2x\le 0$

dibuat harga nol

$x^2+2x=0$

$x(x+2)=0$

$x=0\vee x=-2$

dibuat irisan

	(-2)		(0)		7/6		6
Tidak	Templat:N/a	Tidak	Templat:N/a	Tidak	Templat:N/a	Ya	Templat:N/a	Tidak
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	+++

$\varnothing$

untuk x >= 6

$x^2-4x-12-(-(7-6x))\ge 5$

$x^2-4x-12+7-6x-5\ge 0$

$x^2-10x-10\ge 0$ definit +

$\varnothing$

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:

$HP=\{x|x\le -6\vee 0\le x\le \frac{7}{6},x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|\frac{x+4}{10-x}|<|\frac{1}{x-2}|$!

$|\frac{x+4}{10-x}|<|\frac{1}{x-2}|$

$(\frac{x+4}{10-x}{)}^2<(\frac{1}{x-2}{)}^2$

$(\frac{x+4}{10-x}{)}^2-(\frac{1}{x-2}{)}^2<0$

$(\frac{x+4}{10-x}+\frac{1}{x-2})(\frac{x+4}{10-x}-\frac{1}{x-2})<0$

$(\frac{(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)})(\frac{(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)})<0$

$(\frac{x^2+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)})(\frac{x^2+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)})<0$

$(\frac{x^2+x+2}{(10-x)(x-2)})(\frac{x^2+3x-18}{(10-x)(x-2)})<0$

akar dari $\frac{x^2+x+2}{(10-x)(x-2)}$

$\frac{x^2+x+2}{(10-x)(x-2)}<0$

$x^2+x+2=0$ definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\ne 0$

$x\ne 10$

penyebut 2

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

akar dari $\frac{x^2+3x-18}{(10-x)(x-2)}$

$\frac{x^2+3x-18}{(10-x)(x-2)}<0$

$x^2+3x-18<0$

dibuat harga nol

$x^2+3x-18=0$

$(x+6)(x-3)=0$

$x=-6\vee x=3$ (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1

$10-x\ne 0$

$x\ne 10$

penyebut 2

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

dibuat irisan

	-6		2*		3		10*
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++	Templat:N/a	+++

nb: * = mempunyai 2 akar

$HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}$

• Tentukan nilai x dari pertidaksamaan $|\sqrt{x^2-4x}|\ge |\sqrt{3x-10}|$!

$|\sqrt{x^2-4x}|\ge |\sqrt{3x-10}|$

$(\sqrt{x^2-4x}{)}^2\ge (\sqrt{3x-10}{)}^2$

$x^2-4x\ge 3x-10$

$x^2-7x+10\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-7x+10=0$

$(x-2)(x-5)=0$

$x=2\vee x=5$

dibuat irisan

	2		5
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$x\le 2\vee x\ge 5$

karena ada syarat akar maka:

akar 1

$x^2-4x\ge 0$

dibuat harga nol

$x^2-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0\vee x=4$

dibuat irisan

	0		4
+++	Templat:N/a	----	Templat:N/a	+++

$x\le 0\vee x\ge 4$

akar 2

$3x-10\ge 0$

$x\ge \frac{10}{3}$

gabungkan umum dan syarat

irisan		(0)		(2)		(10/3)		(4)		(5)
pertama	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya
kedua	ya	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya
ketiga	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	tidak	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya	Templat:N/a	ya

$HP=\{x|x\ge 5,x\in R\}$

Pertidaksamaan aritmatika dan geometri

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a₁, a₂, …, a_n kita punya Templat:Nowrap dimana

$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}}$	(rata-rata harmonis),
$G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}$	(rata-rata geometris),
$A=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$	(rata-rata aritmatika),
$Q=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}$	(rata-rata kuadrat).

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

$|⟨𝐮,𝐯⟩{|}^2\le ⟨𝐮,𝐮⟩\cdot ⟨𝐯,𝐯⟩,$

where $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rⁿ dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

${\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{u}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right).$

Pertidaksamaan pangkat

Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk a^b, di mana a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh

• Dari bilangan riil x,

$e^x\ge 1+x.$

• Bila x > 0 dan p > 0, maka

$\frac{x^p-1}{p}\ge \ln (x)\ge \frac{1-\frac{1}{x^p}}{p}.$

Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x).

• Bila x > 0, maka

$x^x\ge {\left(\frac{1}{e}\right)}^{\frac{1}{e}}.$

• Bila x > 0, maka

$x^{x^x}\ge x.$

• Bila x, y, z > 0, maka

${(x+y)}^z+{(x+z)}^y+{(y+z)}^x>2.$

• Untuk bilangan riil a dan b ,

$\frac{e^b-e^a}{b-a}>e^{(a+b)/2}.$

• Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka

$x^p+y^p>{(x+y)}^p.$

• Bila x, y, z > 0, maka

$x^x{y}^y{z}^z\ge {\left(xyz\right)}^{(x+y+z)/3}.$

• Bila a, b > 0, maka

$a^a+b^b\ge a^b+b^a.$

• Bila a, b > 0, maka

$a^{ea}+b^{eb}\ge a^{eb}+b^{ea}.$

• Bila a, b, c > 0, maka

$a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\ge a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.$

• Bila a, b > 0, maka

$a^b+b^a>1.$

Pertidaksamaan yang terkenal

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama: Templat:Div col

• Pertidaksamaan Azuma
• Pertidaksamaan Bernoulli
• Pertidaksamaan Bell
• Pertidaksamaan Boole
• Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
• Pertidaksamaan Chebyshev
• Pertidaksamaan Chernoff
• Pertidaksamaan Cramér–Rao
• Pertidaksamaan Hoeffding
• Pertidaksamaan Hölder
• Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Kolmogorov
• Pertidaksamaan Markov
• Pertidaksamaan Minkowski
• Pertidaksamaan Nesbitt
• Pertidaksamaan Pedoe
• Pertidaksamaan Poincaré
• Pertidaksamaan Samuelson
• Pertidaksamaan segitiga

Lihat pula

• Hubungan biner
• Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
• Inklusi (teori himpunan)
• Inequation
• Interval (matematika)
• Daftar pertidaksamaan
• Daftar pertidaksamaan segitiga
• Himpunan yang dipesan sebagian
• Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

Sumber

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Citation
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite web
• Templat:Cite web
• Templat:Cite web
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Templat:Springer
• Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
• AoPS Wiki entry about Inequalities