Persamaan diferensial homogen

Persamaan diferensial homogen dapat memiliki dua artian.

Persamaan diferensial orde pertama yang homogen

Persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

dapat dianggap homogen jika fungsi M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen dengan tingkat yang sama, n. Dalam kata lain, jika setiap variabel dikalikan dengan parameter  $\lambda$, dapat diperoleh

$M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)$     and     $N(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}N(x,y).$

sehingga:

$\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.$

Solusi

Dalam hasil bagi   $\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, jika diasumsikan   $t=1/x$   untuk menyederhanakan hasil bagi ini menjadi fungsi $f$ dengan satu variabel $y/x$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x).$

Kemudian dilakukan perubahan variabel $y=ux$; lalu diturunkan dengan aturan produk:

$\frac{d(ux)}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\frac{dx}{dx}=x\frac{du}{dx}+u,$

sehingga mengubah persamaan diferensial ini menjadi bentuk yang dapat dipisahkan

$x\frac{du}{dx}=f(u)-u;$

Persamaan ini kini dapat diintegralkan secara langsung.

Kasus khusus

Persamaan diferensial tingkat persama dalam bentuk berikut: (a, b, c, e, f, g semuanya konstanta)

$(ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0$

dengan af ≠ be dapat diubah menjadi persamaan homogen lewat transformasi linear kedua variabel ($\alpha$ dan $\beta$ adalah konstanta):

$t=x+\alpha ;z=y+\beta .$

Persamaan diferensial linear homogen

Persamaan diferensial linear dapat dikatakan homogen jika memenuhi kondisi berikut:

$Ly=0$

L adalah operator diferensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui.

Contoh

$a{y}^{″}(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde kedua.

$a(x)y^{\prime }(x)+b(x)y(x)=0$ adalah persamaan diferensial linear homogen orde pertama

Referensi

• Templat:Citation. (This is a good introductory reference on differential equations.)
• Templat:Citation. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)