Persamaan diferensial eksak

Persamaan diferensial eksak atau persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam ilmu fisika dan teknik.

Definisi

Dengan D=R² dan dua fungsi I dan J yang bersifat kontinu di D, maka persamaan diferensial biasa orde pertama berikut

$I(x,y)\mathrm{d}x+J(x,y)\mathrm{d}y=0,$

disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F yang dapat diturunkan secara terus menerus yang disebut fungsi potensial, sehingga

$\frac{\partial F}{\partial x}=I$

dan

$\frac{\partial F}{\partial y}=J.$

Tata nama "persamaan diferensial eksak" mengacu kepada turunan eksak suatu fungsi. Untuk fungsi $F(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n)$, turunan eksak sehubungan dengan $x_0$ adalah

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}.$

Contoh

Fungsi $F:{ℝ}^2\to ℝ$ berupa

$F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$

merupakan fungsi potensial untuk persamaan diferensial

$x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y=0.$

Penyelesaian

Jika terdapat persamaan diferensial eksak dengan definisi D=R² dengan fungsi potensial F, maka fungsi yang dapat diturunkan f dengan (x, f(x)) dalam D adalah penyelesaiannya jika dan hanya jika terdapat bilangan riil c sehingga

$F(x,f(x))=c.$

Untuk permasalahan nilai awal

$y(x_0)=y_0$

Fungsi potensial dapat dicari dengan Cara

$F(x,y)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}I(t,y_0)\mathrm{d}t+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}J(x,t)\mathrm{d}t=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}I(t,y_0)\mathrm{d}t+\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}[J(x_0,t)+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial I}{\partial t}(u,t)\mathrm{d}u]\mathrm{d}t.$

yang menyelesaikan

$F(x,y)=c$

untuk y, di mana c adalah bilangan riil.

Referensi

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. Templat:ISBN