Persamaan Schröder

Ernst Schröder (1841–1902) pada tahun 1870 merumuskan persamaan senama-nya.

Templat:Distinguish Persamaan Schröder, dinamai Ernst Schröder, adalah persamaan fungsional dengan satu variabel independen: diberi fungsi Templat:Math, temukan fungsinya {{math | Ψ} } seperti yang

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\Psi }(h(x))=s\mathrm{\Psi }(x).$

Persamaan Schröder adalah persamaan nilai eigen untuk operator komposisi Templat:Math, yang mengirimkan fungsi Templat:Math untuk Templat:Math.

Jika Templat:Mvar adalah titik pasti dari Templat:Mvar, artinya Templat:Math, maka Templat:Math (or Templat:Mvar) atau Templat:Math. Jadi, asalkan Templat:Math is finite dan Templat:Math tidak menghilang atau menyimpang, nilai eigen Templat:Mvar diberikan oleh Templat:Math.

Signifikansi fungsional

Untuk Templat:Math, if Templat:Mvar bersifat analitik pada disk unit, perbaikan Templat:Math, dan Templat:Math, kemudian Gabriel Koenigs menunjukkan pada tahun 1884 bahwa ada Templat:Math analitik (non-trivial) yang memenuhi persamaan Schröder. Ini adalah salah satu langkah pertama dalam garis panjang teorema yang bermanfaat untuk memahami operator komposisi pada ruang fungsi analitik, lih. Fungsi Koenigs.

Persamaan seperti Schröder cocok untuk pengkodean kemiripan diri, dan dengan demikian telah digunakan secara luas dalam studi dinamika nonlinier (sering disebut bahasa sehari-hari sebagai teori chaos). Ini juga digunakan dalam studi tentang turbulensi, serta grup renormalisasi.

Bentuk transpos ekuivalen dari persamaan Schröder untuk invers Templat:Math fungsi konjugasi Schröder adalah Templat:Math. Perubahan variabel Templat:Math (Fungsi Abel) selanjutnya mengubah persamaan Schröder menjadi persamaan Abel yang lebih lama, Templat:Math. Similarly, the change of variables Templat:Math converts Schröder's equation to Böttcher's equation, Templat:Math.

Apalagi untuk kecepatan, Templat:Math,   Julia,   Templat:Math, menahan.

Pangkat ke-Templat:Matematika solusi persamaan Schröder memberikan solusi persamaan Schröder dengan nilai eigen Templat:Math, instead. In the same vein, for an invertible solution Templat:Math dari persamaan Schröder, fungsi (tidak dapat dibalik) Templat:Math juga merupakan solusi, untuk fungsi periodik "apa saja" Templat:Math dengan titik Templat:Math. Semua solusi persamaan Schröder terkait dengan cara ini.

Solusi

Persamaan Schröder diselesaikan secara analitis jika Templat:Mvar adalah suatu daya tarik (tetapi tidak superatraksi) titik tetap, yaitu Templat:Math oleh Gabriel Koenigs (1884).

Dalam kasus titik tetap yang sangat menarik, Templat:Math, Persamaan Schröder berat, dan sebaiknya diubah menjadi Persamaan Böttcher.

Ada sejumlah solusi khusus yang berasal dari makalah asli Schröder tahun 1870.

Ekspansi seri di sekitar titik tetap dan sifat konvergensi yang relevan dari solusi untuk orbit yang dihasilkan dan sifat analititasnya secara meyakinkan diringkas oleh George Szekeres. Beberapa solusi diberikan dalam istilah deret asimtotik, lih. Matriks Carleman.

Aplikasi

Lima setengah periode pertama dari fase-ruang orbit s = 4 chaotic logistic map Templat:Math, diinterpolasi secara holografik melalui persamaan Schröder. Kecepatan Templat:Math plotted against Templat:Math. Kekacauan terlihat jelas di orbit yang menyapu semua Templat:Mvar detik setiap saat.

Ini digunakan untuk menganalisis sistem dinamika diskrit dengan mencari sistem koordinat baru di mana sistem (orbit) yang dibangkitkan oleh h ( x ) terlihat lebih sederhana, hanya dilatasi.

Lebih khusus lagi, sistem di mana jumlah langkah waktu satuan diskrit Templat:Math, dapat memiliki orbit (atau aliran) halusnya direkonstruksi dari solusi persamaan Schröder di atas, konjugasi persamaan.

Itu adalah, Templat:Math.

Secara umum, semua fungsionalitas iterasi (iterasi beraturan grup , lihat fungsi iterasi) disediakan oleh orbit

$h_t(x)={\mathrm{\Psi }}^{-1}(s^t\mathrm{\Psi }(x)),$

untuk Templat:Mvar nyata - tidak harus positif atau bilangan bulat. (Jadi, grup berlanjut penuh.) Sekumpulan dari Templat:Math, yaitu, dari semua iterasi bilangan bulat positif dari Templat:Math (semigroup) disebut sempalan (atau urutan Picard) dari Templat:Math.

Namun, semua iterasi (pecahan, sangat kecil, atau negatif) dari Templat:Math juga ditentukan melalui transformasi koordinat Templat:Math bertekad untuk menyelesaikan persamaan Schröder: interpolasi holografik kontinu dari rekursi diskrit awal Templat:Math dibangun; pada dasarnya, seluruh orbit.

Misalnya, akar kuadrat fungsional adalah Templat:Math, seperti Templat:Math, dan seterusnya.

Sebagai contoh, special cases of the logistic map such as the chaotic case Templat:Math were already worked out by Schröder in his original article (p. 306),

Templat:Math, Templat:Math, dan karenanya Templat:Math.

Faktanya, solusi ini terlihat sebagai gerakan yang ditentukan oleh urutan potensial switchback, Templat:Math, fitur generik dari pengulangan terus menerus yang dipengaruhi oleh persamaan Schröder.

Kasus nonkotik juga diilustrasikan dengan metodenya, Templat:Math, memberi

Templat:Math, dan karenanya Templat:Math.

Demikian pula, untuk model Beverton–Holt, Templat:Math, yang mudah ditemukan Templat:Math, seperti

$h_t(x)={\mathrm{\Psi }}^{-1}(2^{-t}\mathrm{\Psi }(x))=\frac{x}{2^t+x(1-2^t)}.$

Lihat pula

• Persamaan Böttcher