Osilator harmonis kuantum

Beberapa diagram lintasan dari osilator harmonis menurut hukum Newton tentang mekanika klasik (A–B), dan menurut persamaan Schrödinger mengenai mekanika kuantum (C–H). Dalam A–B, partikel (yang dilambangkan dengan bola yang ditempelkan pada pegas) yang berosilasi secara bolak-balik. Sementara dalam C–H, beberapa hasil dari persamaan Schrödinger dapat ditemui, dengan sumbu horizontal menunjukkan posisi, dan sumbu vertikal menunjukkan bagian bilangan real (biru) dan imajiner (merah) dari fungsi gelombang. Titik C, D, E, F (bukan titik G, H) merupakan keadaan eigen energi, sedangkan titik H merupakan keadaan yang koheren, sebuah keadaan dalam kuantum yang mendekati lintasan awal.

Osilator harmonis kuantum (Templat:Lang-en) merupakan penempatan konsep osilator harmonis klasik dalam mekanika kuantum. Dikarenakan energi potensial halus yang berubah-ubah, biasanya dapat mendekati keadaan potensial harmonis di cangkupan sekitar titik ekuilibrium yang stabil. Sistem tersebut menjadi sistem model yang paling penting dalam mekanika kuantum. Lebih lanjutnya, sistem teraebut merupakan salah satu dari beberapa sistem mekanika kuantum yang memiliki hasil pasti, sekaligus hasil analitikal yang diketahui hingga saat ini.

Osilator harmonis isotropik dimensi ke-N

Osilator dimensi pertama sudah dapat dianggap sebagai dimensi Templat:Math, dengan Templat:Math. Posisi dari osilator dalam dimensi pertama dilambangkan dengan satu sistem koordinat Templat:Math. Sedangkan untuk dimensi ke-Templat:Math posisi koordinat tersebut diganti dengan Templat:Math, yang ditandai sebagai Templat:Math. Keterkaitan antar posisi kordinat merupakan sebuah momentum; dan ditandai sebagai Templat:Math. Hubungan comutasi kanonikal antara operasi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: $$\begin{array}{cc}[x_i,p_j]& =i\hslash {\delta }_{i,j}\\ [x_i,x_j]& =0\\ [p_i,p_j]& =0\end{array}$$ Bentuk Hamiltonian dari sistem tersebut ialah $$H=\sum _{i=1}^N(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_i^2).$$

Sebagaimana bentuk Hamiltonian memperjelas operasi dalan sistem tersebut, osilator harmonis dimensi ke-Templat:Math memiliki nilai analogi yang sama persis dengan osilator harmonis independen dimensi pertama Templat:Math dengan massa dan konstanta pegas yang sama. Dalam kasus ini, nilai dari Templat:Math akan melambangkan posisi dari setiap partikel Templat:Math. Hal ini merupakan bagian konvenian dari potensial Templat:Math, yang memperbolehkan energi potensial untuk terpisah menjadi nilainya masinh masih tergantung dari kordinat yang dimiliki setoap titik energi.

Pengamatan dari operasi ini membuat hasol dari sistem lebih jelas. Untuk himpunan dari angka kuantum $\{n\}\equiv \{n_1,n_2,\dots ,n_N\}$, energi fungsi eigen untuk osilator dimensi ke-Templat:Math diekspresikan dalam nilai fungsi eigen dimensi pertama sebagai:

$$⟨𝐱|{\psi }_{\{n\}}⟩=\prod _{i=1}^N⟨x_i\mid {\psi }_{n_i}⟩$$

Dalam metode operasi tangga, himpunan Templat:Math dalam operasi tangga dapat didefinisikan sebagai,

$$\begin{array}{cc}{a}_i& =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x_i+\frac{i}{m\omega }{p}_i),\\ a_i^{†}& =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x_i-\frac{i}{m\omega }{p}_i).\end{array}$$

Dengan prosedur analogi untuk kasus satu dimensional, kita dapat menunjukkan nilai dari setiap Templat:Math dan penaikan dan penurunan operator Templat:Math dengan Templat:Math. Fungsi Hamiltonian untuk operasi ini ialah $$H=\hslash \omega \sum _{i=1}^N(a_i^{†}{a}_i+\frac{1}{2}).$$ Akan tetapi, nilai Hamiltonian tersebut tidak memiliki varian nilai dalam pengelompokan simetri dinamis Templat:Math (pengelompokan gabingan dalam dimensi ke-Templat:Math), dan ditentukan nilainya dengan $$U{a}_i^{†}{U}^{†}=\sum _{j=1}^N{a}_j^{†}{U}_{ji}\text{untuk semua}U\in U(N),$$ dengan $U_{ji}$ merupakan elemen dalam representasi matriks penentu untuk Templat:Math. Sementara tingkatan energi dalam sistem adalah$$E=\hslash \omega [(n_1+\cdots +n_N)+\frac{N}{2}].$$ $$n_i=0,1,2,\dots (\text{tingkatan energi dalam dimensi }i).$$