Operator logika

Diagram Hasse dari operator-operator logika

Dalam logika, operator logika atau perangkai logika merupakan simbol logika yang dipakai untuk menghubungkan rumus-rumus logika. Sebagai contoh, dalam sintaks logika proposisional, operasi biner $\vee$ dapat dipakai untuk menggabungkan dua rumus atomik $P$ dan $Q$, memberikan rumus kompleks $P\vee Q$.

Operator logika pada umumnya meliputi negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi dan kesetaraan . Dalam sistem logika klasik yang standar, operator-operator tersebut dipandang sebagai fungsi kebenaran, yakni fungsi yang menerima suatu nilai kebenaran (benar atau salah) dan menghasilkan nilai kebenaran yang baru. Sedangkan dalam logika non-klasik ada beberapa interpretasi berbeda terkait definisi dari operator-operator tersebut. Interpretasi klasik dari setiap operator tersebut mirip dengan ungkapan "tidak", "atau", "dan", dan "jika" dalam bahasa alami seperti Bahasa Indonesia, walau tidak identik.

Pendahuluan

Dalam bahasa formal, fungsi-fungsi kebenaran dinyatakan lewat simbol-simbol yang tak ambigu. Hal ini memungkinkan pernyataan logika dapat dipahami dalam cara yang tidak ambigu. Simbol-simbol ini selanjutnya disebut operator logika atau perangkai logika.

Operator logika dapat digunakan untuk menghubungkan nol atau lebih pernyataan-pernyataan, memungkinkan seorang membahas operator logika n-ary. Konstanta Boolean Benar dan Salah dapat dianggap sebagai operator 0-ary, negasi sebagai operator 1-ary, dan seterusnya.

Daftar operator logika yang umum

Berikut adalah daftar beberapa operator logika yang umum, simbol, dan popularitasnya:

• Negasi (tidak): $\mathrm{\neg }$, $\sim$, $N$ (prefiks), dengan $\mathrm{\neg }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\sim$ masih digunakan oleh banyak orang;

• Konjungsi (dan): $\wedge$, $\mathrm{\&}$, $K$ (prefiks), dengan $\wedge$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
• Disjungsi (atau): $\vee$, $A$ (prefiks), dengan $\vee$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
• Implikasi (jika...maka...): $\to$, $\supset$, $\Rightarrow$, $C$ (prefiks), dengan $\to$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\supset$ masih digunakan oleh banyak orang;
• Kesetaraan (jika dan hanya jika): $\leftrightarrow$, $\subset \supset$, $\iff$, $\equiv$, $E$ (prefiks), dengan $\leftrightarrow$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\subset \supset$ dapat menjadi pasangan yang cocok ketika menggunakan simbol implikasi $\supset$, seperti $\leftrightarrow$ ketika menggunakan $\to$.

Makna hubungan [antar] pernyataan dapat berubah ketika dibubuhi operator-operator tersebut. Sebagai contoh, pernyataan hari ini hujan (disimbolkan dengan $p$) dan saya ada di dalam ruangan (disimbolkan dengan $q$) dapat berubah menjadi:

• Hari ini tidak hujan ($\mathrm{\neg }p$);
• Hari ini hujan dan saya ada di dalam ruangan ($p\wedge q$);
• Hari ini hujan atau saya ada di dalam ruangan ($p\vee q$);
• Jika hari ini hujan, maka saya ada di dalam ruangan ($p\to q$);
• Jika saya ada di dalam ruangan, maka hari ini hujan ($q\to p$);
• Saya ada di dalam ruangan jika dan hanya jika hari ini hujan ($p\leftrightarrow q$);

Pernyataan yang selalu benar dan pernyataan yang selalu salah juga umum dianggap sebagai sebagai sebuah operator:

• Benar, disimbolkan dengan $\mathrm{\top }$, $1$, $V$ (prefiks), atau $\mathrm{T}$;
• Salah, disimbolkan dengan $\mathrm{\perp }$, $0$, $O$ (prefiks), atau $\mathrm{F}$

Sejarah dari notasi yang digunakan

• Negasi: Simbol $\mathrm{\neg }$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930 (mirip dengan simbol ⫟ dalam Begriffsschrift oleh Frege). Sedangkan simbol $\sim$ muncul dalam publikasi oleh Russell tahun 1908. Alternatif notasi negasi lainnya dilakukan dengan menambahkan garis horizontal di atas rumus (pernyataan) yang bersangkutan, seperti $\bar{p}$, atau dengan menggunakan tanda petik, seperti $p^{\prime }$.
• Konjungsi: Simbol $\wedge$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930 (mirip dengan simbol irisan $\cap$ Peano dalam teori himpunan). Simbol $\mathrm{\&}$ setidaknya sudah digunakan sejak Schönfinkel di tahun 1924, sedangkan simbol $\cdot$ berasal dari interpretasi oleh Boole yang mengganggap logika sebagai aljabar elementer.