Metode Jacobi

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav Jacob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

$Ax=b.$

Kemudian, diketahui bahwa $A=D+\left(L+U\right)$, di mana $D$ merupakan matriks diagonal, $L$ merupakan matriks segitiga bawah, dan $U$ merupakan matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

$Dx+\left(L+U\right)x=b.$Templat:Br

Kemudian,

$x=D^{-1}[b-\left(L+U\right)x],$Templat:Br

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai:

$x^{(k+1)}=D^{-1}[b-\left(L+U\right)x^{(k)}],$Templat:Br

di mana $k$ merupakan banyaknya iterasi. Jika $x^{(k)}$ menyatakan hampiran ke- $k$ penyelesaian SPL, maka $x^{(0)}$ adalah hampiran awal.

$x_i^{(k)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k-1)}),i=1,2,\dots ,n.$

Deskripsi

Jadi

$A𝐱=𝐛$

menjadi sistem kuadrat dari nilai Templat:Math dalam persamaan linier yaitu:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],𝐛=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right].$

Setelah itu nilai Templat:Math dapat diuraikan menjadi komponen diagonal Templat:Math, bagian segitiga bawah Templat:Math dan bagian segitiga atas Templat:Math:

$A=D+L+U\text{darimana}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\text{ and }L+U=\left[\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & 0\end{array}\right].$

Algoritme Metode Iterasi Jacobi

INPUT:

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi NTemplat:Br

OUTPUT:

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.Templat:Br

1. Set penghitung iterasi k=1
2. WHILE $k<=N$ DO
   1. FOR $i=1,2,3,...,n$, Hitung $x_i=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{y}_j)$
   2. SET $X=(x_1{x}_2{x}_3...x_n{)}^T$
   3. IF ||X_Y||<T THEN STOP
   4. Tambah penghitung iterasi, $k=k+1$
   5. FOR $i=1,2,3,...,n$, Set y_i=x_i
   6. SET Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T
3. Tulis pesan "Metode gagal setelah N iterasi"
4. STOP

Input: Templat:Nowrap, (diagonal dominant) matrix $A$, right-hand side vector $b$, convergence criterion
Output: Templat:Nowrap
Comments: Templat:Nowrap

Templat:Nowrap
while convergence not reached do
    for i := 1 step until n do
        Templat:Nowrap
        for j := 1 step until n do
            if j ≠ i then
                Templat:Nowrap
            end
        end
        Templat:Nowrap
    end
    Templat:Nowrap
end

Algoritme Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk software Matlab

Penggunaan algoritme Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. Matlab merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT:

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi NTemplat:Br

OUTPUT:

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.Templat:Br

H=X0'Templat:Br

n=length (b)Templat:Br

X=X0Templat:Br

for k:=1 until NTemplat:Br

for i:=i until n,Templat:Br

S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) * X0 ([1:i-1,i+1:n])Templat:Br

X(i) = S / A (i,i)Templat:Br

endTemplat:Br

g = abs (X-X0)Templat:Br

err = norm (g)Templat:Br

relerr = err / (norm (X)+eps)Templat:Br

X0 = XTemplat:Br

H = [H;X0']Templat:Br

if (err<T)|(relerr<T), break, endTemplat:Br

end

Kekonvergenan

MEtode ini akan bernilai konvergen jika matriksnya merupakan matriks dominan secara diagonal, yaitu apabila unsur diagonal pada kolom tersebut lebih besar dari penjumlahan unsur-unsur lainnya pada kolom tersebut.

$\left|a_{ii}\right|>\sum _{i\ne j}\left|a_{ij}\right|.$

Contoh

Sistem linear dari bentuk $Ax=b$ dengan perkiraan awal $x^{(0)}$ diberikan oleh

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 7\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}11\\ 13\end{array}\right]\text{dan}{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right].$

Kami menggunakan persamaan $x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$, dijelaskan di atas, untuk memperkirakan $x$. Pertama, kami menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah $D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})=T{x}^{(k)}+C$, dimana $T=-D^{-1}(L+U)$ dan $C=D^{-1}b$. Dari nilai-nilai yang diketahui

$D^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right],L=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 5& 0\end{array}\right]\text{dan}U=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

we determine $T=-D^{-1}(L+U)$ as

$T=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right]\{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -5& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]\}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right].$

Further, $C$ is found as

$C=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}11\\ 13\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right].$

Dengan $T$ dan $C$ dihitung, kami perkirakan $x$ sebagai $x^{(1)}=T{x}^{(0)}+C$:

$x^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5.0\\ 8/7\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}5\\ 1.143\end{array}\right].$

Hasil iterasi berikutnya

$x^{(2)}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5.0\\ 8/7\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}69/14\\ -12/7\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}4.929\\ -1.714\end{array}\right].$

Proses ini diulangi sampai konvergensi (yaitu, sampai $\Vert A{x}^{(n)}-b\Vert$ kecil). Solusi setelah 25 iterasi adalah

$x=\left[\begin{array}{c}7.111\\ -3.222\end{array}\right].$

Contoh lain

Contohnya kita diberi sistem linier berikut:

$\begin{array}{cc}10x_1-x_2+2x_3& =6,\\ -x_1+11x_2-x_3+3x_4& =25,\\ 2x_1-x_2+10x_3-x_4& =-11,\\ 3x_2-x_3+8x_4& =15.\end{array}$

Bila kita memilih Templat:Math sebagai pendekatan awal, maka solusi perkiraan pertama diberikan oleh

$\begin{array}{cc}{x}_1& =(6+0-(2*0))/10=0.6,\\ x_2& =(25+0+0-(3*0))/11=25/11=2.2727,\\ x_3& =(-11-(2*0)+0+0)/10=-1.1,\\ x_4& =(15-(3*0)+0)/8=1.875.\end{array}$

Dengan menggunakan perkiraan yang diperoleh, prosedur iteratif diulangi sampai akurasi yang diinginkan tercapai. Berikut ini adalah solusi yang diperkirakan setelah lima iterasi.

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
0.6	2.27272	-1.1	1.875
1.04727	1.7159	-0.80522	0.88522
0.93263	2.05330	-1.0493	1.13088
1.01519	1.95369	-0.9681	0.97384
0.98899	2.0114	-1.0102	1.02135

Solusi yang tepat dari sistem ini adalah Templat:Math.

Contoh menggunakan Python dan NumPy

Prosedur numerik berikut hanya melakukan iterasi untuk menghasilkan vektor solusi.

def jacobi(A, b, x_init, epsilon=1e-10, max_iterations=500):
    D = np.diag(np.diag(A))
    LU = A - D
    x = x_init
    for i in range(max_iterations):
        D_inv = np.diag(1 / np.diag(D))
        x_new = np.dot(D_inv, b - np.dot(LU, x))
        if np.linalg.norm(x_new - x) < epsilon:
            return x_new
        x = x_new
    return x

# problem data
A = np.array([
    [5, 2, 1, 1],
    [2, 6, 2, 1],
    [1, 2, 7, 1],
    [1, 1, 2, 8]
])
b = np.array([29, 31, 26, 19])

# you can choose any starting vector
x_init = np.zeros(len(b))
x = jacobi(A, b, x_init)

print("x:", x)
print("computed b:", np.dot(A, x))
print("real b:", b)

Menghasilkan keluaran:

x: [3.99275362 2.95410628 2.16183575 0.96618357]
computed b: [29. 31. 26. 19.]
real b: [29 31 26 19]

Lihat pula

• Metode Gauss–Seidel
• Relaksasi berlebihan berturut-turut
• Metode berulang§Sistem linier
• Propagasi Keyakinan Gaussian
• Pemisahan matriks

Referensi

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Jacobi Method from www.math-linux.com