Matriks rotasi

Dalam aljabar linear, matriks rotasi adalah matriks transformasi yang digunakan untuk melakukan rotasi dalam ruang Euclidean. Misalnya, dengan menggunakan konvensi di bawah ini, matriks

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

memutar titik-titik pada bidang Templat:Mvar berlawanan arah jarum jam melalui Templat:Mvar terhadap sumbu Templat:Mvar terhadap titik asal sistem koordinat kartesius dua dimensi. Untuk melakukan rotasi pada titik bidang dengan koordinat standar Templat:Math, harus ditulis sebagai vektor kolom, dan dikalikan dengan matriks Templat:Mvar:

$R𝐯=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right].$

Jika Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah koordinat titik akhir suatu vektor, di mana Templat:Mvar adalah kosinus dan Templat:Mvar adalah sinus, maka persamaan di atas menjadi rumus sudut penjumlahan trigonometri. Memang, matriks rotasi dapat dilihat sebagai rumus sudut penjumlahan trigonometri dalam bentuk matriks. Salah satu cara untuk memahami ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki sebuah vektor pada sudut 30° dari sumbu Templat:Mvar, dan kita ingin memutar sudut itu sebesar 45° lebih jauh. Kita hanya perlu menghitung koordinat titik akhir vektor pada 75°.

Dalam dua dimensi

Dalam dua dimensi, matriks rotasi standar memiliki bentuk berikut:

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Ini memutar vektor kolom melalui perkalian matriks berikut,

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$

Jadi, koordinat baru Templat:Math dari suatu titik Templat:Math setelah rotasi adalah

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}.$

Contoh

Misalnya, ketika vektor

$\widehat{𝐱}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

diputar dengan sudut Templat:Mvar, koordinat barunya adalah

$\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right],$

dan ketika vektor

$\widehat{𝐲}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah

$\left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right].$

Referensi

• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation
• Templat:Citation; reprinted as article 52 in Templat:Citation
• Templat:Citation

Pranala luar

• Templat:Springer
• Rotation matrices at Mathworld
• Math Awareness Month 2000 interactive demo Templat:Webarchive (requires Java)
• Rotation Matrices at MathPages
• Templat:In lang A parametrization of SOn(R) by generalized Euler Angles
• Rotation about any point

Templat:Matematika-stub