Matriks permutasi

Dalam matematika, khususnya dalam teori matriks, matriks permutasi adalah matriks biner persegi yang memiliki tepat satu entri 1 di setiap baris dan setiap kolom dan 0 di tempat lain. Setiap matriks tersebut, misalnya Templat:Mvar, mewakili permutasi dari Templat:Mvar elemen dan, ketika digunakan untuk mengalikan matriks lain, katakanlah Templat:Mvar, menghasilkan permutasi baris (saat pra-perkalian, untuk membentuk Templat:Mvar) atau kolom (saat pasca-perkalian, untuk membentuk Templat:Mvar) dari matriks Templat:Mvar.

Definisi

Diberikan permutasi Templat:Pi dari m elemen,

$\pi :\{1,\dots ,m\}\to \{1,\dots ,m\}$

diwakili dalam bentuk dua baris oleh

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & m\\ \pi (1)& \pi (2)& \cdots & \pi (m)\end{array}\right),$

ada dua cara alami untuk mengasosiasikan permutasi dengan matriks permutasi; yaitu, dimulai dengan matriks identitas m × m, Templat:Math, baik mengubah kolom atau mengubah baris, menurut Templat:Pi. Kedua metode untuk mendefinisikan matriks permutasi muncul dalam literatur dan properti yang diekspresikan dalam satu representasi dapat dengan mudah dikonversi ke representasi lainnya. Artikel ini terutama akan membahas salah satu dari representasi ini dan yang lainnya hanya akan disebutkan jika ada perbedaan yang harus diperhatikan.

Matriks permutasi m × m P_Templat:Pi = (p_ij) diperoleh dengan mengubah kolom-kolom dari matriks identitas Templat:Math, yaitu untuk setiap i, i, Templat:Math if j = Templat:Pi(i) sebaliknya, akan disebut sebagai representasi kolom dalam artikel ini. Karena entri pada baris i semuanya 0 kecuali bahwa 1 muncul di kolom (i), kita dapat menulis

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ ⋮\\ {𝐞}_{\pi (m)}\end{array}\right],$

dimana ${𝐞}_j$, vektor basis standar, menyatakan vektor baris dengan panjang m dengan 1 pada posisi ke-j dan 0 pada setiap posisi lainnya.

Misalnya, matriks permutasi P_Templat:Pi sesuai dengan permutasi $\pi =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 4& 2& 5& 3\end{array}\right)$ adalah

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ {𝐞}_{\pi (3)}\\ {𝐞}_{\pi (4)}\\ {𝐞}_{\pi (5)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1\\ {𝐞}_4\\ {𝐞}_2\\ {𝐞}_5\\ {𝐞}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right].$

Amati bahwa kolom ke-j dari matriks identitas Templat:Math sekarang muncul sebagai kolom ke-Templat:Pi(j) dari P_Templat:Pi.

Representasi lain, diperoleh dengan permutasi baris dari matriks identitas Templat:Math, yaitu, untuk setiap j, p_ij = 1 jika i = Templat:Pi(j) dan Templat:Math sebaliknya, akan disebut sebagai representasi baris.

Referensi

• Templat:Cite book
• Templat:Citation

Templat:Matematika-stub