Limas persegi

Templat:Infobox polyhedron Dalam geometri, limas persegiTemplat:Efn (Templat:Lang-en) adalah limas yang terdiri atas empat buah segitiga yang kongruen dan memiliki satu buah persegi sebagai alasnya. Limas dengan titik puncaknya tepat berada di atas pusat persegi dan dengan empat muka segitiga sama kaki, maka itu adalah limas persegi siku (right square pyramid); jika tidak, maka itu limas persegi miring (oblique square pyramid). Apabila semua rusuk pada limas persegi siku sama panjangnya, maka limas itu merupakan bangun ruang Johnson pertama, yang dilambangkan $J_1$.

Limas persegi sudah ditemukan melalui riwayat arsitektur. Contoh bangunan itu adalah piramida yang dibangun oleh Mesir pada zaman kuno, dan beberapa jenis bangunan lain yang menyerupainya. Selain itu, limas persegi juga digunakan dalam struktur molekul piramidal persegi, serta digunakan untuk mengonstruksikan sebuah polihedron dengan menggunakan polihedron yang lain. Banyak matematikawan terdahulu telah menemukan rumus menghitung volumenya dengan cara yang berbeda.

Kasus spesial

Limas persegi siku

Lmas persegi pada umumnya mempunyai lima buah titik sudut, delapan buah rusuk, dan lima bidang muka. Salah satu muka tersebut adalah alas limas yang berbentuk persegi, sisanya berbentuk segitiga.Templat:R Alas persegi itu dibentuk oleh empat rusuk yang dihubungkan oleh empat buah titik sudut, dan keempat rusuk itu adalah rusuk alas. Keempat rusuk lainnya yang disebut "rusuk tegak" (lateral edges) bertemu di titik sudut kelima. Titik sudut tersebut adalah titik puncak.Templat:R Limas yang titik puncaknya berada pada garis yang tepat di pusat alas persegi sehingga muka segitiga menjadi sama kaki, disebut limas persegi siku (right square pyramid). Limas dengan dua atau lebih muka segitiga yang tidak sama kaki disebut limas persegi miring (oblique square pyramid).Templat:RTemplat:Sfnb

Sisi miring (slant height) $s$ dari sebuah limas persegi didefinisikan sebagai tinggi dari salah satu segitiga sama kaki. Sisi ini didapatkan menggunakan teorema Pythagoras: $$s=\sqrt{b^2-\frac{l^2}{4}},$$ dengan $l$ adalah panjang dari alas segitiga, sekaligus salah satu dari rusuk pada alas persegi, dan $b$ adalah panjang dari kaki segitiga, sekaligus merupakan sisi tegak dari limas.Templat:SfnbTemplat:R Tinggi $h$ dari sebuah limas persegi didapatkan dengan cara yang serupa, yang kemudian jika mensubstitusikan rumus dari sisi miring, menghasilkan:Templat:Sfnb $$h=\sqrt{s^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{b^2-\frac{l^2}{2}}.$$ Luas permukaan dari sebuah polihedron (bidang banyak) dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua mukanya. Oleh karena itu, luas permukaan dari sebuah limas persegi siku $A$ dapat dinyatakan sebagai $A=4T+S$, dengan $T$ dan $S$ masing-masing merepresentasikan luas dari salah satu muka segitiga dan alas perseginya. Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dan kaki, sedangkan luas dari persegi adalah sisinya yang dikuadratkan. Jadi, luasnya dirumuskan sebagai:Templat:Sfnp $$A=4\left(\frac{1}{2}ls\right)+l^2=2ls+l^2.$$

Secara umum, volume dari sebuah limas $V$ sama dengan sepertiganya hasil kali luas dari alas dengan tinggi.Templat:R Untuk limas persegi, rumusnya adalah:Templat:Sfnp $$V=\frac{1}{3}{l}^{2}h.$$ Rumus menghitung volume dari limas persegi sebelumnya sudah ditemukan oleh beberapa matematikawan kuno. Dalam Papirus Matematika Moskwa, bangsa Mesir menemukan rumus untuk menghitung volume dari frustum dengan alasnya yang berupa persegi. Hal ini dapat disimpulkan bahwa mereka sudah mengetahui volume dari sebuah limas persegi, tetapi permasalahannya adalah masih belum diketahui bagaimana cara mereka membuktikannya. Selain penemuan volume dari sebuah limas persegi, permasalahan untuk mencari kemiringan dan tinggi dari limas persegi dapat dijejak pada Papirus Matematika Rhind.Templat:R Bangsa Babilonia juga menemukan volume dari frustum tersebut, tetapi rumus yang didapatkan itu tidak benar.Templat:R Salah satu matematikawan asal Tiongkok, Liu Hui, menemukan volume tersebut dengan memotong sebuah bangun ruang berbentuk kotak menjadi beberapa bagian.Templat:R

Sebagai bangun ruang Johnson

Berkas:Johnson J1 3D.stl Andaikan semua rusuk pada limas persegi siku memiliki panjang yang sama, semua muka segitiga yang dimiliki menjadi sama sisi, dan muka-muka tersebut merupakan poligon beraturan.Templat:R Sudut dihedral di antara dua buah segitiga yang berdampingan bernilai $\arccos (-1/3)\approx 109.47^{\circ }$, dan sudut di antara alas persegi dan masing-masing segitiga bernilai, $\arctan \sqrt{2}\approx 54.735^{\circ }$.Templat:R Sebuah polihedron cembung yang hanya memiliki poligon beraturan sebagai mukanya disebut bangun ruang Johnson, dan jenis limas itu dikategorikan sebagai bangun ruang Johnson pertama, dilambangkan $J_1$.Templat:R

Karena rusuknya sama panjang (yaitu $b=l$) rumus untuk sisi miring, tinggi, luas permukaan, dan volume didapatkan dari rumus dari limas persegi siku di atas:Templat:RTemplat:Sfnp $$\begin{array}{cc}s=\frac{\sqrt{3}}{2}l\approx 0.866l,& h=\frac{1}{\sqrt{2}}l\approx 0.707l,\\ A=(1+\sqrt{3})l^2\approx 2.732l^2,& V=\frac{\sqrt{2}}{6}{l}^3\approx 0.236l^3.\end{array}$$

Sama seperti limas yang lain dengan poligon beraturan sebagai alasnya, limas persegi ini memiliki simetri piramidal. Limas persegi ini memiliki simetri dari grup siklik $C_{4v}$, yang berarti limas dapat diputar sekali, dua kali, dan tiga kali putaran penuh di sekitar sumbu simetri, garis yang menghubungkan titik puncak hingga ke pusat alas; limas persegi ini memiliki simetri cermin yang relatif dengan setiap bidang yang tegak lurus, yang melalui garis pembagi alas.Templat:R Limas ini dapat direpresentasikan graf roda (wheel graph) $W_4$; lebih umumnya, graf roda $W_n$ merepresentasikan kerangka dari sebuah limas dengan $n$ sisi alas.Templat:R

Limas persegi dengan sifat ini dikatakan Templat:Ill. Artinya, limas ini tidak dapat dipisahkan oleh suatu bidang sehingga menciptakan dua polihedron cembung dengan muka beraturan yang lebih kecil.Templat:R

Penerapan

Templat:Multiple image Dalam arsitektur, piramida yang dibangun di Mesir pada zaman kuno adalah contoh-contoh bangun yang bentuknya mirip seperti limas persegi.Templat:R Beberapa ahli piramodologi mengemukakan berbagai pendapat untuk desain bangunan piramida Giza, di antaranya teori yang melibatkan segitiga Kepler dan rasio emas. Akan tetapi, banyak ahli modern lebih mendeskripsikannya dengan menggunakan perbandingan bilangan bulat supaya lebih konsisten dengan pengetahuan matematika dan proporsi Mesir pada masa itu.Templat:R. Piramida Mesoamerika juga merupakan bangun kuno yang mirip seperti dengan milik Mesir, tetapi yang membedakannya adalah bahwa piramida Mesoamerika memiliki ujung atasnya yang datar serta terdapat tangga pada mukanya.Templat:R Selain itu, terdapat bangun modern yang menyerupai piramida Mesir, yakni Louvre Pyramid dan hotel Luxor Las Vegas.Templat:R

Dalam stereokimia, kluster atom dapat memiliki bentuk molekul geometri berupa limas persegi. Molekul dengan bentuk ini memiliki unsur golongan utama yang terdiri atas satu pasangan elektron sunyi aktif, yang digambarkan oleh sebuah model yang memprediksi geometri molekul, teori VSEPR.Templat:R Contoh-contoh molekul dengan struktur itu adalah pentafluorida klorin, pentafluorida bromin, and dan pentafluorida iodin.Templat:R

Konstruksi dari polihedron ini melibatkan penempelan limas persegi

Alas limas persegi dapat ditempelkan ke muka persegi dari sebuah polihedron, sehingga membangun polihedron yang baru. Contoh proses konstruksi ini disebut augmentation. Contohnya seperti polihedron (pada gambar) yang dapat dikonstruksi dengan menempelkan alas limas persegi ke masing-masing muka dari sebuah kubus.Templat:R Menempelkan prisma dan Templat:Ill ke alas limas persegi masing-masing dikenal dengan sebutan elongation atau gyroelongation.Templat:R Beberapa bangun ruang Johnson dapat dikonstruksikan dengan menempelkan alas limas persegi, atau menempelkan bangun ruang lain dengan limas persegi, di antaranya adalah: Templat:Ill $J_8$, Templat:Ill $J_{10}$, Templat:Ill $J_{15}$, Templat:Ill $J_{17}$, Templat:Ill $J_{49}$, Templat:Ill $J_{50}$, Templat:Ill $J_{51}$, Templat:Ill $J_{52}$, Templat:Ill $J_{53}$, Templat:Ill $J_{54}$, Templat:Ill $J_{55}$, Templat:Ill $J_{56}$, Templat:Ill $J_{57}$, dan Templat:Ill $J_{87}$.Templat:R Templat:Clear

Referensi

Sumber

• Templat:Cite book
• Templat:Cite book

Pranala luar

• Templat:MathWorld2
• Templat:MathWorld
• Square Pyramid – Interactive Polyhedron Model
• Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model)