Kaidah rantai

Templat:Periksa terjemahanTemplat:Kalkulus Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel Templat:Mvar tergantung pada variabel Templat:Mvar, yang bergantung pada variabelnya Templat:Mvar (yaitu Templat:Mvar dan Templat:Mvar adalah variabel dependen), lalu Templat:Mvar, melalui variabel perantara Templat:Mvar, tergantung pada Templat:Mvar demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}.$

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, ${\frac{dz}{dx}|}_x={\frac{dz}{dy}|}_{y(x)}\cdot {\frac{dy}{dx}|}_x$.

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila $z=f(y)$ dan $y=g(x)$, seperti nilai $z=f(g(x))=(f\circ g)(x)$, maka

${\frac{dz}{dx}|}_x=(f\circ g{)}^{\prime }(x)$

dan

${\frac{dz}{dy}|}_{y(x)}\cdot {\frac{dy}{dx}|}_x=f^{\prime }(y(x))g^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh George F. Simmons: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."

Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi.

Sejarah

Aturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari $\sqrt{a+bz+c{z}^2}$ sebagai gabungan dari fungsi akar kuadrat dan fungsi $a+bz+c{z}^2$. Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 (dengan kesalahan tanda dalam perhitungan). Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz. Guillaume de l'Hôpital menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya Analyse des infiniment petits. Aturan rantai tidak muncul di buku analisis Leonhard Euler, meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz.

Satu dimensi

Contoh pertama

Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang. Asumsikan bahwa Templat:Mvar detik setelah lompatannya, ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh Templat:Math. Satu model untuk tekanan atmosfer di ketinggian Templat:Mvar is Templat:Math. Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut:

• Templat:Math adalah kecepatan skydiver pada saat itu Templat:Mvar.
• Templat:Math adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian Templat:Mvar dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di Templat:Mvar meters above sea level. (Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut.)
• Templat:Math adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver Templat:Mvar detik setelah lompatannya.
• Templat:Math adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di Templat:Mvar detik setelah skydiver melompat, dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di Templat:Mvar detik setelah lompatan.

Di sini, aturan rantai memberikan metode untuk menghitung Templat:Math istilah dari Templat:Math dan Templat:Math. Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit, ini biasanya sangat sulit. Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah.

Kaidah rantai menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai,

$(f\circ g{)}^{\prime }(t)=f^{\prime }(g(t))\cdot g^{\prime }(t).$

Dalam contoh ini sama dengan

$(f\circ g{)}^{\prime }(t)=(-10.1325e^{-0.0001(4000-4.9t^2)})\cdot (-9.8t).$

Dalam pernyataan kaidah rantai, Templat:Mvar dan Templat:Mvar memainkan peran yang sedikit berbeda karena Templat:Mvar adalah evaluasi pada $g(t)$, sedangkan Templat:Mvar adalah evaluasi pada Templat:Mvar. Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar.

Contohnya, kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat. Karena, Templat:Math dan memiliki satuan pascal per detik. Faktor Templat:Math dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan dinyatakan dalam meter per detik. $f^{\prime }(g(10))$ adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian Templat:Math dan dinyatakan dalam pascal per meter. Produk dari $f^{\prime }(g(10))$ dan $g^{\prime }(10)$ oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar.

Di sini, perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan Templat:Mvar di tempat lain. Contohnya, 10 dalam soal mewakili sepuluh detik, sedangkan ekspresi $f^{\prime }(10)$ akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter, yang tidak kami inginkan. Begitu pula saat Templat:Math memiliki satuan meter per detik, ekspresi tersebut Templat:Math akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian −98 meter, yang sekali lagi bukan yang kami inginkan. Namun, Templat:Math adalah 3020 meter di atas permukaan laut, ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan Templat:Mvar.

Pernyataan

Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel nyata. Karena hal ini menyatakan bahwa jika Templat:Mvar adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik Templat:Mvar (yaitu turunan Templat:Math ada) dan Templat:Mvar adalah fungsi yang dapat dibedakan pada Templat:Math, lalu fungsi komposit Templat:Math dibedakan di Templat:Mvar, dan turunannya adalah

$(f\circ g{)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(g(c))\cdot g^{\prime }(c).$

Kaidah tersebut terkadang disingkat

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)\cdot g^{\prime }.$

Bila Templat:Math dan Templat:Math, maka bentuk singkatan ini ditulis dalam notasi Leibniz sebagai:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$

Poin-poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=c}={\frac{dy}{du}|}_{u=g(c)}\cdot {\frac{du}{dx}|}_{x=c}.$

Membawa alasan yang sama lebih jauh, diberikan Templat:Mvar fungsi $f_1,\dots ,f_n$ dengan fungsi komposit $f_1\circ (f_2\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_n))$, bila masing-masing fungsi $f_i$ dapat dibedakan pada masukan langsungnya, maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang, di mana turunannya adalah (dalam notasi Leibniz):

$\frac{d{f}_1}{dx}=\frac{d{f}_1}{d{f}_2}\frac{d{f}_2}{d{f}_3}\cdots \frac{d{f}_n}{dx}.$

Contoh lebih lanjut

Tidak adanya rumus

Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan. Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung. Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi. Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung. Jika tingkat diketahui, laju pendakian dapat dihitung menggunakan trigonometri. Contohnya mobil sedang naik pada Templat:Val. Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar Templat:Val per kilometer naik (disebut tingkat selang waktu). Untuk mengetahui penurunan suhu per jam, kita dapat menerapkan aturan rantai. Biarkan fungsinya Templat:Math menjadi ketinggian mobil pada saat itu Templat:Mvar, dan biarkan fungsinya Templat:Math menjadi suhu Templat:Mvar kilometer di atas permukaan laut. Templat:Mvar dan Templat:Mvar tidak diketahui secara pasti: Contohnya, ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui. Namun, turunannya diketahui: Templat:Math adalah Templat:Val, dan Templat:Math adalah Templat:Val. Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan Templat:Mvar dan turunan dari Templat:Mvar. Karena ini adalah Templat:Math.

Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena Templat:Math adalah fungsi konstan. Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda. Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan. Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu, perlu diketahui Templat:Mvar dan bukan hanya Templat:Math, karena tanpa disadari Templat:Mvar tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi Templat:Math.

Komposit lebih dari dua fungsi

Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi. Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi, perhatikan bahwa gabungan dari Templat:Mvar, Templat:Mvar, dan Templat:Mvar (dalam urutan itu) adalah gabungan dari Templat:Mvar maka Templat:Math. Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari Templat:Math, itu cukup untuk menghitung turunan dari Templat:Mvar dan turunan dari Templat:Math. Turunan dari Templat:Mvar dapat dihitung secara langsung, dan turunan dari Templat:Math dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi.

Untuk konkretnya, pertimbangkan fungsinya

$y=e^{\sin (x^2)}.$

Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi:

$\begin{array}{cc}y& =f(u)=e^u,\\ u& =g(v)=\sin v=\sin (x^2),\\ v& =h(x)=x^2.\end{array}$

Turunannya adalah:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{du}& =f^{\prime }(u)=e^u=e^{\sin (x^2)},\\ \frac{du}{dv}& =g^{\prime }(v)=\cos v=\cos (x^2),\\ \frac{dv}{dx}& =h^{\prime }(x)=2x.\end{array}$

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik Templat:Math adalah:

$\begin{array}{cc}(f\circ g\circ h{)}^{\prime }(a)& =f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h{)}^{\prime }(a)\\ & =f^{\prime }((g\circ h)(a))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)=(f^{\prime }\circ g\circ h)(a)\cdot (g^{\prime }\circ h)(a)\cdot h^{\prime }(a).\end{array}$

Dalam notasi Leibniz, adalah:

$\frac{dy}{dx}={\frac{dy}{du}|}_{u=g(h(a))}\cdot {\frac{du}{dv}|}_{v=h(a)}\cdot {\frac{dv}{dx}|}_{x=a},$

atau singkatnya,

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}.$

Oleh karena itu, fungsi turunannya adalah:

$\frac{dy}{dx}=e^{\sin (x^2)}\cdot \cos (x^2)\cdot 2x.$

Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit Templat:Math sebagai gabungan dari Templat:Math dan h. Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan:

$(f\circ g\circ h{)}^{\prime }(a)=(f\circ g{)}^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(h(a)))\cdot g^{\prime }(h(a))\cdot h^{\prime }(a).$

sama dengan yang dihitung di atas. hal ini harus diharapkan karena Templat:Math.

Terkadang, perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang $f_1\circ f_2\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_n$. Dalam kasus ini, definisikan

$f_{a..b}=f_a\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_b$

dimana $f_{a..a}=f_a$ dan $f_{a..b}(x)=x$ ketika $b<a$. Kemudian aturan rantai terbentuk

$D{f}_{1..n}=(D{f}_1\circ f_{2..n})(D{f}_2\circ f_{3..n})\cdots (D{f}_{n-1}\circ f_{n..n})D{f}_n=\prod _{k=1}^n[D{f}_k\circ f_{(k+1)..n}]$

atau, dalam notasi Lagrange,

$f_{1^{\prime }..n}(x)={f_1}^{\prime }(f_{2..n}(x)){f_2}^{\prime }(f_{3..n}(x))\cdots f_{n^{\prime }-1}(f_{n..n}(x)){f_n}^{\prime }(x)=\prod _{k=1}^n{f_k}^{\prime }(f_{(k+1..n)}(x))$

Kaidah hasil bagi

Templat:See also Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal. Contohnya, kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan aturan perkalian. Untuk melihat ini, tulis fungsinya Templat:Math sebagai produk Templat:Math. Pertama, terapkan kaidah hasil kali:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)& =\frac{d}{dx}(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)})\\ & =f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).\end{array}$

Untuk menghitung turunan Templat:Math, perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari Templat:Mvar dengan fungsi timbal balik, yaitu fungsi yang mengirim Templat:Mvar to Templat:Math. Turunan dari fungsi timbal balik adalah $-1/x^2$. Dengan menerapkan aturan rantai, ekspresi terakhir menjadi:

$f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot (-\frac{1}{g(x{)}^2}\cdot g^{\prime }(x))=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2},$

yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi.

Turunan yang lebih tinggi

Faà di Bruno's formula menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi. Berasumsi bahwa Templat:Math dan Templat:Math, maka beberapa turunan pertamanya adalah:

$\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}& =\frac{d^{2}y}{d{u}^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^2+\frac{dy}{du}\frac{d^{2}u}{d{x}^2}\\ \frac{d^{3}y}{d{x}^3}& =\frac{d^{3}y}{d{u}^3}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^3+3\frac{d^{2}y}{d{u}^2}\frac{du}{dx}\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{dy}{du}\frac{d^{3}u}{d{x}^3}\\ \frac{d^{4}y}{d{x}^4}& =\frac{d^{4}y}{d{u}^4}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^4+6\frac{d^{3}y}{d{u}^3}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^2\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\frac{d^{2}y}{d{u}^2}(4\frac{du}{dx}\frac{d^{3}u}{d{x}^3}+3{\left(\frac{d^{2}u}{d{x}^2}\right)}^2)+\frac{dy}{du}\frac{d^{4}u}{d{x}^4}.\end{array}$

Bukti

Bukti pertama

Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya:

$(f\circ g{)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}.$

Asumsikan untuk saat itu $g(x)$ tidak sama $g(a)$ untuk apapun Templat:Mvar dekat Templat:Mvar. Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}.$

<!-+If $g$ oscillates near Templat:Mvar, then it might happen that no matter how close one gets to Templat:Mvar, there is always an even closer Templat:Mvar such that $g(x)$ equals $g(a)$. -->Contohnya, ini terjadi untuk Templat:Math mendekati intinya Templat:Math. Kapanpun ini terjadi, ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan pembagian dengan nol. Untuk menyiasatinya, perkenalkan sebuah fungsi $Q$ sebagai berikut:

$Q(y)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(y)-f(g(a))}{y-g(a)},& y\ne g(a),\\ f^{\prime }(g(a)),& y=g(a).\end{array}$

Kami akan menunjukkan bahwa hasil bagi perbedaan Templat:Math selalu sama dengan:

$Q(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}.$

.

Bukti

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u₀ dan x = x₀. Maka y merupakan fungsi komposit dari x $(y=(f\circ g)(x))$. Turunan y terhadap x di titik x₀ dinyatakan sebagai

$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(g(x_0+\mathrm{\Delta }x))-f(g(x_0))}{\mathrm{\Delta }x}$

Misalkan $\mathrm{\Delta }u=g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)$, dan $u_0=g(x_0)$. Untuk $x\to 0$ maka $u\to 0$. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(\frac{f(u_0+\mathrm{\Delta }u)-f(u_0)}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x})$

$=\left[\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{\lim }\frac{f(u_0+\mathrm{\Delta }u)-f(u_0)}{\mathrm{\Delta }u}\right]\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x_0+\mathrm{\Delta }x)-g(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

$=\frac{dy}{du}{|}_{u=u_0}\cdot \frac{du}{dx}{|}_{x=x_0}$.

Pranala luar

• Templat:EnTemplat:MathWorld