Integral Lebesgue

The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.

Templat:Kalkulus Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$.

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik ${\chi }_A:X\to \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

${\chi }_A(x)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{a}x\in A\\ 0& \mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{a}x\in ̸A\end{array}.$

Suatu fungsi $\varphi :X\to ℝ$ tersebut fungsi sederhana, jika

$\varphi =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}$

untuk ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in ℝ$, $A_1,\dots ,A_n\in \mathrm{\Sigma }$ dan $n\in \mathbb{N}$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\varphi =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}$ sebagai

$\underset{X}{\int }\varphi d\mu =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\mu (A_i).$

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya $f:(X,\mathrm{\Sigma })\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana $ℬ(ℝ)$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

$\underset{X}{\int }fd\mu =\sup \{\underset{X}{\int }\varphi d\mu :\varphi \text{ sederhana, }0\le \varphi \le f\}.$

Perhatikan bahwa $\underset{X}{\int }fd\mu \in [0,\mathrm{\infty }]$.

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya $f:(X,\mathrm{\Sigma })\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif $f^{+}$ dan $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai $f^{+}=\max \{f,0\}$ dan $f^{-}=\max \{-f,0\}$. Perhatikan bahwa $f=f^{+}-f^{-}$ dan $|f|=f^{+}+f^{-}$.

Jika $\underset{X}{\int }{f}^{+}d\mu <\mathrm{\infty }$ dan $\underset{X}{\int }{f}^{-}d\mu <\mathrm{\infty }$, maka $f$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

$\underset{X}{\int }fd\mu =\underset{X}{\int }{f}^{+}d\mu -\underset{X}{\int }{f}^{-}d\mu .$

Jelas, $f$ terintegralkan jika dan hanya jika $\int |f|d\mu <\mathrm{\infty }$.

Sifat-sifat dasar

• Integral itu linear, yaitu jika $\alpha ,\beta \in ℝ$ dan $f,g$ fungsi terintegralkan, maka $\alpha f+\beta g$ juga terintegralkan dengan

$\underset{X}{\int }\alpha f+\beta gd\mu =\alpha \underset{X}{\int }fd\mu +\beta \underset{X}{\int }gd\mu .$

• Integral itu monoton, yaitu jika $f,g$ fungsi terintegralkan dan $f\le g$, maka

$\underset{X}{\int }fd\mu \le \underset{X}{\int }gd\mu .$