Fungsi rasional Chebyshev

Plot fungsi rasional Chebyshev untuk Templat:Math dengan Templat:Math dalam skala log.

Dalam matematika, fungsi rasional Chebyshev adalah urutan fungsi yang rasional dan ortogonal. Mereka dinamakan Pafnuty Chebyshev. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat n didefinisikan sebagai:

$R_n(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{T}_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

di mana T_n(x) adalah polinom Chebyshev bentuk pertama.

Sifat

Banyak sifat yang dapat diturunkan dari polinom Chebysev bentuk pertama.

Rekursi

$R_{n+1}(x)=2\frac{x-1}{x+1}{R}_n(x)-R_{n-1}(x)\text{for }n\ge 1$

Persamaan diferensial

$(x+1{)}^2{R}_n(x)=\frac{1}{n+1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{R}_{n+1}(x)-\frac{1}{n-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{R}_{n-1}(x)\text{for }n\ge 2$

$(x+1{)}^{2}x\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{R}_n(x)+\frac{(3x+1)(x+1)}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{R}_n(x)+n^2{R}_n(x)=0$

Ortogonalitas

Plot nilai absolut dari orde ketujuh (Templat:Math) fungsi rasional Chebyshev untuk Templat:Math. Perhatikan bahwa terdapat Templat:Math nol yang tersusun secara simetris disekitar Templat:Math dan jika Templat:Math adalah nol, maka Templat:Math adalah nol juga. Nilai maksimum diantara nol adalah satu. Sifat ini berlaku untuk semua orde.

Mendefinisikan:

$\omega (x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$

Ortogonalitas dari fungsi rasional Chebyshev dapat ditulis:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_m(x)R_n(x)\omega (x)\mathrm{d}x=\frac{\pi c_n}{2}{\delta }_{nm}$

di mana Templat:Math untuk Templat:Math dan Templat:Math untuk Templat:Math; Templat:Math adalah fungsi Kronecker delta.

Perluasan fungsi yang berubah-ubah

Untuk fungsi yang berubah-ubah Templat:Math hubungan ortogonalitas dapat digunakan untuk memperluas Templat:Math:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{R}_n(x)$

dimana

$F_n=\frac{2}{c_n\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)R_n(x)\omega (x)\mathrm{d}x.$

Nilai khusus

$\begin{array}{cc}{R}_0(x)& =1\\ R_1(x)& =\frac{x-1}{x+1}\\ R_2(x)& =\frac{x^2-6x+1}{(x+1{)}^2}\\ R_3(x)& =\frac{x^3-15x^2+15x-1}{(x+1{)}^3}\\ R_4(x)& =\frac{x^4-28x^3+70x^2-28x+1}{(x+1{)}^4}\\ R_n(x)& =(x+1{)}^{-n}\sum _{m=0}^n(-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2m})x^{n-m}\end{array}$

Perluasan fraksi sebagian

$R_n(x)=\sum _{m=0}^n\frac{(m!{)}^2}{(2m)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{(-4{)}^m}{(x+1{)}^m}$

Referensi

• Templat:Cite journal