Ekspansi Laplace

Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan Templat:Math matriks Templat:Mvar sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa Templat:Mvar submatriks Templat:Mvar. Secara khusus, untuk setiap Templat:Mvar, $$\begin{array}{cc}\det (B)& =\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{B}_{i,j}{M}_{i,j},\end{array}$$ dimana $B_{i,j}$ adalah entri baris ke-Templat:Mvar dan kolom ke-Templat:Mvar dari Templat:Mvar, dan $M_{i,j}$ adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-Templat:Mvar dan kolom ke-Templat:Mvar dari Templat:Mvar.

Syarat $(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$ disebut kofaktor dari $B_{i,j}$ di Templat:Mvar.

Contoh

Perhatikan matriks

$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right].$

Determinan matriks ini dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi Laplace sepanjang salah satu baris atau kolomnya. Misalnya, ekspansi di sepanjang baris pertama menghasilkan:

$\begin{array}{cc}|B|& =1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & =1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{array}$

Ekspansi Laplace sepanjang kolom kedua menghasilkan hasil yang sama:

$\begin{array}{cc}|B|& =-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+5\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|-8\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & =-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{array}$

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa hasilnya benar: matriksnya tunggal karena jumlah kolom pertama dan ketiganya adalah dua kali kolom kedua, dan karenanya determinannya adalah nol.

Referensi

• David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, Templat:ISBN, pp. 265–267 (Templat:Google books)
• Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, Templat:ISBN, pp. 57–60 (Templat:Google books)

Pranala luar

• Laplace expansion in C Templat:Pt
• Laplace expansion in Java Templat:Pt

Templat:Matematika-stub