Diferensial total

Templat:Kalkulus Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

Penjelasan

Mengikuti Templat:Harvtxt, untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,

$y=f(x_1,\dots ,x_n),$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

$\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1$

melibatkan derivatif parsial y terhadap  x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n,$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen x_i.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti Templat:Harvtxt, jika f adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi, inkremen

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }y& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x_1+\mathrm{\Delta }{x}_1,\dots ,x_n+\mathrm{\Delta }{x}_n)-f(x_1,\dots ,x_n)\\ & =\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\mathrm{\Delta }{x}_n+{\epsilon }_1\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +{\epsilon }_n\mathrm{\Delta }{x}_n\end{array}$

di mana elemen kesalahan (error term) ε _i mendekati nol karena inkremen Δx_i bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}\mathrm{\Delta }{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\mathrm{\Delta }{x}_n.$

Lihat pula

• Diferensial
• Diferensial parsial
• Persamaan diferensial

Pustaka

• Templat:Citation.
• Templat:Citation.
• Templat:Citation
• Templat:Citation.
• Templat:Citation.