Daftar transformasi koordinat

Daftar transformasi koordinat berikut memuat transformasi sistem-sistem koordinat yang paling umum digunakan.

2-Dimensi

Diketahui (x, y) pada sistem koordinat Kartesius baku, serta r dan θ pada sistem koordinat polar baku.

Dari koordinat polar ke koordinat Kartesius

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$

$\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=r$

Dari koordinat Kartesius ke koordinat polar

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

${\theta }^{\prime }=\arctan \left|\frac{y}{x}\right|$

Catatan: penghitungan ${\theta }^{\prime }$ menghasilkan sudut resultan pada kuadran pertama ($0<\theta <\frac{\pi }{2}$). Untuk menghitung $\theta$, harus dirujuk pada koordinat Kartesius semua, tentukan kuadran di mana $\theta$ terletak (misalnya (3,-3) [Kartesius] terletak pada kuadran 4 atau "QIV"), maka gunakan persamaan berikut untuk menghitung $\theta$:

Untuk ${\theta }^{\prime }$ in QI:

$\theta ={\theta }^{\prime }$

Untuk ${\theta }^{\prime }$ in QII:

$\theta =\pi -{\theta }^{\prime }$

Untuk ${\theta }^{\prime }$ in QIII:

$\theta =\pi +{\theta }^{\prime }$

Untuk ${\theta }^{\prime }$ in QIV:

$\theta =2\pi -{\theta }^{\prime }$

Nilai $\theta$ harus dihitung dengan cara ini karena semua nilai $\theta$, $\tan \theta$ hanya didefinisikan untuk $-\frac{\pi }{2}<\theta <+\frac{\pi }{2}$, dan bersifat periodik (dengan periode $\pi$). Artinya fungsi invers hanya menghasilkan nilai dalam domain fungsi itu, tetapi terbatas pada satu periode saja. Jadi, rentang fungsi invers hanyalah setengah lingkaran.

Perhatikan bahwa dapat pula digunakan

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

${\theta }^{\prime }=2\arctan \frac{y}{x+r}$

Dari koordinat log-polar ke koordinat Kartesius

$\{\begin{array}{c}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\ y=e^{\rho }\sin \theta .\end{array}$

Dengan menggunakan bilangan kompleks $(x,y)=x+i{y}^{\prime }$, transformasi dapat ditulis sebagai

$x+iy=e^{\rho +i\theta }$

yaitu diberikan oleh fungsi eksponensial kompleks.

Dari koordinat Kartesius ke koordinat log-polar

$\{\begin{array}{c}\rho =\log \sqrt{x^2+y^2},\\ \theta =\arctan \frac{y}{x}.\end{array}$

Dari koordinat bipolar ke koordinat Kartesius

$x=a\frac{\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

$y=a\frac{\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }$

Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat Kartesius

$x=\frac{r_1^2-r_2^2}{4c}$

$y=\pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2{r}_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2{)}^2}$

Dari koordinat two-center bipolar ke koordinat polar

$r=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}$

$\theta =\arctan \left[\sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]$

di mana 2c adalah jarak antara kutub-kutub.

Dari persamaan Cesàro ke koordinat Kartesius

$x=\int \cos [\int \kappa (s)ds]ds$

$y=\int \sin [\int \kappa (s)ds]ds$

Dari koordinat Kartesius ke panjang dan kurva Arc

$\kappa =\frac{x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$

$s=\underset{a}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}dt$

Dari koordinat polar ke panjang dan kurva Arc

$\kappa =\frac{r^2+2r{\text{'}}^2-r{r}^{″}}{(r^2+r{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$

$s=\underset{a}{\overset{\varphi }{\int }}\sqrt{1+y{\text{'}}^2}d\varphi$

3-Dimensi

Diketahui (x, y, z) pada sistem koordinat Kartesius baku, dan (ρ, θ, φ) pada koordinat spherical, dengan sudut θ diukur dari aksis +Z axis. Sebagaimana φ mempunyai rentang 360° pertimbangan yang sama dengan koordinat polar (2 dimensi) diterapkan bilamana diambil suatu arctangen. θ mempunyai rentang 180°, dari 0° ke 180°, dan tidak bermasalah jika dihitung dari suatu arckosinus, tetapi perhatikan untuk suatu arctangen. Jika, dalam definisi alternatif, θ dipilih untuk rentang dari −90° ke +90°, dengan arah yang berlawanan dibandingkan definisi sebelumnya, maka dapat dihitung secara unik dari suatu arcsinus, tetapi hati-hati dengan arckotangen. Dalam kasus ini semua rumus berikut semua argumen θ harus ditukar sinus dan kosinus-nya, dan sebagai turunan juga harus ditukar tanda plus dan minusnya.

Semua pembagian oleh nol menghasilkan kasus-kasus khusus dengan arah di sepanjang aksis-aksis utama dan dalam praktik dapat dipecahkan dengan mudah melalui observasi.

Ke koordinat Kartesius

Dari koordinat spherical

$x=\rho \sin \theta \cos \varphi$

$y=\rho \sin \theta \sin \varphi$

$z=\rho \cos \theta$

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}=\left(\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \rho \cos \theta \cos \varphi & -\rho \sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & \rho \cos \theta \sin \varphi & \rho \sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\end{array}\right)$

sehingga untuk volume elemen:

$dxdydz=\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}d\rho d\theta d\varphi ={\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta d\varphi$

Dari koordinat cylindrical

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

$z=h$

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

sehingga untuk volume elemen:

$dxdydz=\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}drd\theta dh=rdrd\theta dh$

Ke koordinat Spherical

Dari koordinat Kartesius

$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\varphi =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)=\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\arcsin \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

$\theta =\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)=\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)$

$\frac{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{x}{\rho }& \frac{y}{\rho }& \frac{z}{\rho }\\ \frac{xz}{{\rho }^2\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{yz}{{\rho }^2\sqrt{x^2+y^2}}& -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{{\rho }^2}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\end{array}\right)$

sehingga untuk volume elemen:

$d\rho d\theta d\varphi =\det \frac{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}dxdydz=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dxdydz$

Dari koordinat cylindrical

$\rho =\sqrt{r^2+h^2}$

$\varphi =\varphi$

$\theta =\arctan \frac{r}{h}$

$\frac{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,\varphi ,h)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}& 0& \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\ \frac{-r}{r^2+h^2}& 0& \frac{h}{r^2+h^2}\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\det \frac{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,\varphi ,h)}=\frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}$

Ke koordinat cylindrical

Dari koordinat Kartesius

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x=0\text{ and }y=0\\ \arcsin (\frac{y}{r})& \text{if }x\ge 0\\ -\arcsin (\frac{y}{r})+\pi & \text{if }x<0\end{array}$

$h=z$

Note that many computer systems may offer a more concise function for computing $\theta$, such as atan2(y,x) in the C language.

$\frac{\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}& 0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{x}{x^2+y^2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Dari koordinat spherical

$r=\rho \sin \varphi$

$\theta =\theta$

$h=\rho \cos \varphi$

$\frac{\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}=\left(\begin{array}{ccc}\sin \varphi & 0& \rho \cos \varphi \\ 0& 1& 0\\ \cos \varphi & 0& -\rho \sin \varphi \end{array}\right)$

$\det \frac{\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}=-\rho$

Dari koordinat Kartesius ke panjang, kurva, dan torsi Arc

$s=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}dt$

$\kappa =\frac{\sqrt{(z^{″}{y}^{\prime }-y^{″}{z}^{\prime }{)}^2+(x^{″}{z}^{\prime }-z^{″}{x}^{\prime }{)}^2+(y^{″}{x}^{\prime }-x^{″}{y}^{\prime }{)}^2}}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2{)}^{3/2}}$

$\tau =\frac{z^{‴}(x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″})+z^{″}(x^{‴}{y}^{\prime }-x^{\prime }{y}^{‴})+z^{\prime }(x^{″}{y}^{‴}-x^{‴}{y}^{″})}{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2)(x^{\prime }{\text{'}}^2+y^{\prime }{\text{'}}^2+z^{\prime }{\text{'}}^2)}$