Bilangan tingkat

Representasi bilangan ordinal sampai ω^ω. Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω

Bilangan tingkat atau bilangan ordinal dalam teori himpunan adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan bilangan asli, berbeda dengan bilangan bulat dan dengan bilangan kardinal. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Bilangan tingkat diperkenalkan oleh Georg Cantor pada tahun 1883 untuk mengakomodasi urutan tak terhingga dan untuk menggolongkan himpunan turunan, yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan deret trigonometri.

Contoh:

• Himpunan bilangan tingkat kurang dari 3 adalah 3 = Templat:Mset, bilangan tingkat terkecil tidak kurang dari 3.
• Himpunan bilangan tingkat terhingga adalah tak terhingga, bilangan ordinal tak terhingga terkecil: ω.
• Himpunan bilangan tingkat terhitung adalah tak terhitung, bilangan tingkat tak terhitung terkecil: ω₁.

Lihat pula

• Bilangan kardinal

Pustaka

• Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
• Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
• Dauben, Joseph Warren, (1990), Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Chapter 5: The Mathematics of Cantor's Grundlagen. ISBN 0-691-02447-2
• Templat:Citation See Ch. 6, "Ordinal and cardinal numbers"
• Kanamori, A., Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
• Templat:Citation Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
• Templat:Citation
• Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
• Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
• Templat:Citation
• Templat:Citation - English translation of Templat:Harvnb.

Pranala luar

• Templat:Springer
• Templat:MathWorld
• Ordinals at ProvenMath
• Beitraege zur Begruendung der transfiniten MengenlehreTemplat:Pranala mati Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
• Ordinal calculator Templat:Webarchive GPL'd free software for computing with ordinals and ordinal notations