Bilangan prima Wolstenholme

Templat:Infobox integer sequence Dalam teori bilangan, bilangan prima Wolstenholme (Templat:Lang-en) merupakan jenis bilangan prima spesial yang memenuhi teorema Wolstenholme yang lebih kuat. Teorema Wolstenholme melibatkan relasi kekongruenan yang dipenuhi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada 3. Bilangan prima Wolstenholme dinamai dari seorang matematikawan yang bernama Joseph Wolstenholme, yang pertama kali menjelaskan teorema ini pada abad ke-19.

Bilangan prima ini menjadi banyak perhatian karena memiliki kaitannya dengan Teorema Terakhir Fermat. Selain itu, bilangan prima Wolstenholme juga berkaitan dengan jenis kelas bilangan spesial lainnya, yang dikaji dengan harapan dapat memperumum suatu bukti kebenaran teorema untuk semua bilangan bulat positif yang lebih besar daripada dua.

Dua bilangan prima Wolstenholme yang diketahui hanyalah 16843 dan 2124679 Templat:OEIS. Tiada bilangan prima Wolstenholme yang lebih kecil daripada 10⁹.^[1]

Definisi

Bilangan prima Wolstenholme dapat didefinisikan sebagai bilangan prima $p > 7$ yang memenuhi kekongruenan: $(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{4}) .$ Disini, ekspresi di ruas kiri melambangkan koefisien binomial.^[2] Sebagai perbandingan, teorema Wolstenholme menyatakan bahwa untuk setiap bilangan prima $p > 3$ , maka berlaku kekongruenan: $(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{3}) .$

Bilangan prima Wolstenholme didefinisikan sebagai bilangan prima $p$ yang membagi pembilang dari bilangan Bernoulli $B_{p - 3}$ .^[3] Karena itu, bilangan prima Wolstenholme membentuk subhimpunan dari bilangan prima tak beraturan. Bilangan prima Wolstenholme merupakan bilangan prima $p$ sehingga $(p, p - 3)$ merupakan pasangan tak beraturan.^[4]

Bilangan prima Wolstenholme adalah bilangan prima $p$ sehingga $H_{p - 1} \equiv 0 (\mod p^{3}) .$ Ini berarti, pembilang dari bilangan harmonik $H_{p - 1}$ yang dinyatakan dalam suku terkecil dapat dibagi oleh $p^{3}$ .Templat:Sfn

Pencarian dan status saat ini

Templat:Unsolved Pencarian bilangan prima Wolstenholme dimulai sekitar tahun 1960-an, dan kemudian berlanjut hingga hasil saat ini diterbitkan pada tahun 2007. Bilangan prima Wolstenholme yang pertama, 16843, ditemukan pada tahun 1964, walaupun pada kala itu tidak dilaporkan secara langsung.^[5] Penemuan tersebut kemudian dikonfirmasi sekitar tahun 1970-an. Hal ini hanya menyisakan contoh bilangan prima yang diketahui selama hampir 20 tahun, hingga diumumkan penemuan adanya bilangan prima Wolstenholme yang kedua, 2124679, pada tahun 1993.Templat:Sfn Hingga mencapai 1.2Templat:E, tiada bilangan prima Wolstenholme ditemukan.Templat:Sfn Pencarian tersebut kemudian diperluas hingga mencapai 2Templat:E oleh Templat:Harvnb, dan Templat:Harvnb dapat mencari bilangan tersebut hingga mencapai 2,5Templat:E.^[6] Hingga pada tahun 2007, hasil laporan mengatakan bahwa hanya ada dua bilangan prima yang lebih kecil daripada Templat:10^.Templat:Sfn Templat:-