Bilangan komposit tinggi

Demonstrasi, dengan Batang Cuisenaire, dari empat pertama: 1, 2, 4, 6

Bilangan komposit tinggi adalah bilangan bulat positif dengan lebih banyak pembagi daripada bilangan bulat positif yang lebih kecil. Istilah ini diciptakan oleh Ramanujan (1915). Namun, Jean-Pierre Kahane telah menyarankan bahwa konsep tersebut mungkin telah diketahui oleh Plato, yang menetapkan 5040 sebagai jumlah ideal penduduk di kota sebagai 5040 telah lebih menjadi pembagi.

Konsep terkait sebagian besar bilangan komposit mengacu pada bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya sebanyak pembagi sebagai bilangan bulat positif yang lebih kecil.

Namanya bisa agak menyesatkan, karena dua bilangan komposit tinggi (1 dan 2) sebenarnya bukan bilangan komposit.

Contoh

Templat:Dalam perbaikan 38 bilangan komposit tinggi awal atau terkecil tercantum dalam tabel di bawah ini Templat:OEIS. Jumlah pembagi diberikan di kolom berlabel d ( n ). Tanda bintang menunjukkan bilangan komposit sangat unggul.

Order	HCN n	Faktorisasi prima	Eksponen prima	Bilangan faktor prima	d(n)	Faktorisasi primorial
1	1			0	1
2*	2	$2$	1	1	2	$2$
3	4	$2^2$	2	2	3	$2^2$
4*	6	$2\cdot 3$	1,1	2	4	$6$
5*	12	$2^2\cdot 3$	2,1	3	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^3\cdot 3$	3,1	4	8	$2^2\cdot 6$
7	36	$2^2\cdot 3^2$	2,2	4	9	$6^2$
8	48	$2^4\cdot 3$	4,1	5	10	$2^3\cdot 6$
9*	60	$2^2\cdot 3\cdot 5$	2,1,1	4	12	$2\cdot 30$
10*	120	$2^3\cdot 3\cdot 5$	3,1,1	5	16	$2^2\cdot 30$
11	180	$2^2\cdot 3^2\cdot 5$	2,2,1	5	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^4\cdot 3\cdot 5$	4,1,1	6	20	$2^3\cdot 30$
13*	360	$2^3\cdot 3^2\cdot 5$	3,2,1	6	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^4\cdot 3^2\cdot 5$	4,2,1	7	30	$2^2\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	3,1,1,1	6	32	$2^2\cdot 210$
16	1260	$2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	2,2,1,1	6	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	4,1,1,1	7	40	$2^3\cdot 210$
18*	2520	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	3,2,1,1	7	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19*	5040	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	4,2,1,1	8	60	$2^2\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$	3,3,1,1	8	64	$6^2\cdot 210$
21	10080	$2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	5,2,1,1	9	72	$2^3\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$	4,3,1,1	9	80	$2\cdot 6^2\cdot 210$
23	20160	$2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	6,2,1,1	10	84	$2^4\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$	4,2,2,1	9	90	$2^2\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,2,1,1,1	8	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$	4,4,1,1	10	100	$6^3\cdot 210$
27	50400	$2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$	5,2,2,1	10	108	$2^3\cdot 30\cdot 210$
28*	55440	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,2,1,1,1	9	120	$2^2\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,3,1,1,1	9	128	$6^2\cdot 2310$
30	110880	$2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,2,1,1,1	10	144	$2^3\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,3,1,1,1	10	160	$2\cdot 6^2\cdot 2310$
32	221760	$2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,2,1,1,1	11	168	$2^4\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$	4,2,2,1,1	10	180	$2^2\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,3,1,1,1	11	192	$2^2\cdot 6^2\cdot 2310$
35	498960	$2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,4,1,1,1	11	200	$6^3\cdot 2310$
36	554400	$2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11$	5,2,2,1,1	11	216	$2^3\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,3,1,1,1	12	224	$2^3\cdot 6^2\cdot 2310$
38*	720720	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,2,1,1,1,1	10	240	$2^2\cdot 6\cdot 30030$

Pembagi dari 15 bilangan komposit tinggi pertama ditunjukkan di bawah ini.

n	d(n)	Divisors of n
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840

Tabel di bawah ini menunjukkan 72 pembagi dari 10080 dengan menuliskannya sebagai hasil kali dari dua angka dalam 36 cara berbeda.

The highly composite number: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Catatan:  Bilangan dalam bold adalah bilangan komposit tinggi . Hanya nomor dua puluh yang sangat komposit 7560 (= 3 × 2520) is absent. 10080 is a so-called 7-smooth number Templat:OEIS.

Bilangan komposit ke-15.000 dapat ditemukan di situs web Achim Flammenkamp. Ini adalah produk dari 230 bilangan prima:

$a_0^{14}{a}_1^9{a}_2^6{a}_3^4{a}_4^4{a}_5^3{a}_6^3{a}_7^3{a}_8^2{a}_9^2{a}_{10}^2{a}_{11}^2{a}_{12}^2{a}_{13}^2{a}_{14}^2{a}_{15}^2{a}_{16}^2{a}_{17}^2{a}_{18}^2{a}_{19}{a}_{20}{a}_{21}\cdots a_{229},$

dimana $a_n$ adalah deretan bilangan prima yang berurutan, dan semua suku yang dihilangkan (a₂₂ to a₂₂₈) adalah faktor dengan eksponen sama dengan satu (yaitu bilangan $2^{14}\times 3^9\times 5^6\times \cdots \times 1451$). Lebih tepatnya, ini adalah produk dari tujuh primorial yang berbeda:

$b_0^5{b}_1^3{b}_2^2{b}_4{b}_7{b}_{18}{b}_{229},$

dimana $b_n$ adalah primorial $a_0{a}_1\cdots a_n$.

Plot jumlah pembagi bilangan bulat dari 1 hingga 1000. Bilangan komposit tinggi diberi label dengan huruf tebal dan bilangan komposit tinggi di atas diberi tanda bintang. Di Berkas SVG, arahkan kursor ke atas bilah untuk melihat statistiknya.

Faktorisasi prima

Secara kasar, agar sebuah bilangan menjadi sangat komposit, ialah anda harus memiliki faktorisasi prima sekecil mungkin, tetapi tidak terlalu banyak yang sama. Dengan teorema dasar aritmetika, setiap bilangan bulat positif n memiliki faktorisasi prima yang unik:

$n=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \cdots \times p_k^{c_k}(1)$

dimana $p_1<p_2<\cdots <p_k$ adalah bilangan prima dan eksponen, sedangkan $c_i$ adalah bilangan bulat positif.

Faktor apa pun dari n harus memiliki kelipatan yang sama atau lebih kecil di setiap bilangan prima:

$p_1^{d_1}\times p_2^{d_2}\times \cdots \times p_k^{d_k},0\le d_i\le c_i,0<i\le k$

Jadi jumlah pembagi n adalah:

$d(n)=(c_1+1)\times (c_2+1)\times \cdots \times (c_k+1).(2)$

Oleh karena itu, untuk bilangan komposit tinggi n ,

• k yang diberi bilangan prima p _i harus persis bilangan prima k pertama (2, 3, 5, ...); jika tidak, kita bisa mengganti salah satu bilangan prima yang diberikan dengan bilangan prima yang lebih kecil, dan dengan demikian mendapatkan bilangan yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 10 = 2 × 5 dapat diganti dengan 6 = 2 × 3; keduanya memiliki empat pembagi);
• urutan eksponen harus tidak meningkat, yaitu $c_1\ge c_2\ge \cdots \ge c_k$; jika tidak, dengan menukar dua eksponen kita akan mendapatkan angka yang lebih kecil dari n dengan jumlah pembagi yang sama (misalnya 18 = 2¹ × 3² boleh diganti dengan 12 = 2² × 3¹; keduanya memiliki enam pembagi).

Perhatikan, bahwa meskipun kondisi yang dijelaskan di atas diperlukan, kondisi tersebut tidak cukup untuk sebuah bilangan menjadi sangat komposit. Sebagai contoh, 96 = 2⁵ × 3 memenuhi kondisi di atas dan memiliki 12 pembagi tetapi tidak terlalu komposit karena ada bilangan yang lebih kecil 60 yang memiliki jumlah pembagi yang sama.

Pertumbuhan dan kepadatan asimtotik

Bila Q(x) menunjukkan jumlah bilangan komposit yang kurang dari atau sama dengan x , maka ada dua konstanta a dan b , keduanya lebih besar dari 1, sehingga

$(\log x{)}^a\le Q(x)\le (\log x{)}^b.$

Bagian pertama dari ketidaksetaraan dibuktikan oleh Paul Erdős pada tahun 1944 dan bagian kedua oleh Jean-Louis Nicolas pada tahun 1988. Kami memiliki

$1.13862<\mathrm{lim\; inf}\frac{\log Q(x)}{\log \log x}\le 1.44$

dan

$\mathrm{lim\; sup}\frac{\log Q(x)}{\log \log x}\le 1.71.$

Urutan terkait

Templat:Euler diagram numbers with many divisors.svg Bilangan komposit yang lebih tinggi dari 6 juga merupakan jumlah berlimpah. Kita hanya perlu melihat tiga pembagi terbesar dari bilangan komposit tinggi tertentu untuk memastikan fakta ini. Tidak benar bahwa semua bilangan komposit tinggi juga Bilangan Harshad dalam basis 10. HCN pertama yang bukan bilangan Harshad adalah 245.044.800, yang memiliki jumlah digit 27, tetapi 27 tidak membagi.

10 dari 38 bilangan komposit tinggi pertama adalah bilangan komposit sangat unggul. Urutan bilangan komposit tinggi Templat:OEIS adalah himpunan bagian dari urutan bilangan terkecil k dengan pembagi n persis Templat:OEIS.

Bilangan komposit tinggi yang jumlah pembaginya juga merupakan bilangan komposit tinggi adalah untuk n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 Templat:OEIS. Sangat mungkin urutan ini selesai.

Bilangan bulat positif n adalah sebagian besar bilangan komposit jika d(n) ≥ d(m) untuk semua m ≤ n. Fungsi penghitungan Q_L(x) dari sebagian besar bilangan komposit memuaskan

$(\log x{)}^c\le \log Q_L(x)\le (\log x{)}^d$

untuk nilai positif c,d dengan $0.2\le c\le d\le 0.5$.

Karena faktorisasi prima dari bilangan komposit tinggi menggunakan semua bilangan prima 'k' 'pertama, setiap bilangan komposit tinggi harus berupa bilangan praktis. Banyak dari angka-angka ini digunakan dalam sistem pengukuran tradisional, dan cenderung digunakan dalam desain teknik, karena kemudahan penggunaannya dalam perhitungan yang melibatkan pecahan.

Lihat pula

• Bilangan komposit sangat unggul
• Bilangan total
• Tabel pembagi
• Fungsi total Euler
• Bilangan bulat
• Bilangan halus

Referensi

• Templat:Cite journal (online Templat:Webarchive)
• Templat:Cite book
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal
• Templat:Cite journal Beranotasi dan dengan kata pengantar oleh Jean-Louis Nicolas dan Guy Robin.

Pranala luar

• Templat:MathWorld
• Algorithm for computing Highly Composite Numbers
• First 10000 Highly Composite Numbers as factors
• Achim Flammenkamp, First 779674 HCN with sigma,tau,factors
• Online Highly Composite Numbers Calculator